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Trigonometria – Adição e Subtração de arcos

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Trigonometria – Adição e Subtração de arcos

Aprenda mais sobre Trigonometria.

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Relembrando o plano de coordenadas cartesianas e ciclo trigonométrico, considere um ponto obtido pela marcação de um arco a

Toda ponto no plano é determinado por um par de coordenadas $(x,y)$ no caso desse ponto ser extremidade de um arco de medida $k$ centrado na origem ele pode ser descrito pelas coordenadas $(cos\alpha,sen\alpha)$ , nesse caso, o ponto P tem coordenadas $(cos\alpha,sen\alpha)$ .

De modo geral, qualquer ponto da circunferência é dado através das razoes trigonométricas dos arcos, sejam eles positivos ou, ainda, negativos.

Apesar de já conhecermos as razoes trigonométricas em todos os quadrantes usaremos como estratégia mostrar que as fórmulas são verdadeiras para valores positivos, cuja soma pertence ao primeiro quadrante para em seguida pensarmos em como generaliza-las pra valores quaisquer.

ADIÇÃO DE ARCOS

Considere dois arcos positivos e do primeiro quadrante, $\alpha$ e $\beta$ , cuja soma ainda pertença ao primeiro quadrante.

Com isso, temos que $0< \alpha<90^{\circ}$ , $0< \beta< 90^{\circ}$ e $\alpha+\beta<90^{\circ}$ .

O SEN(α + β)

Queremos escrever o $sen(\alpha+\beta)$ em função das razões trigonométricas de $\alpha$ e $\beta$ .

Para isso precisamos perceber alguns traços importantes.

Observando a figura, o ponto crucial para a demonstração é a percepção de que o ângulo $JP_2E$ é congruente ao ângulo $P_1OM$ . Além disso, temos que o $\overline{JK}=\overline{EL}$ e $\overline{KL}=\overline{JE}$ , pois são lados opostos e paralelos (formam um retângulo).

Utilizando as já conhecidas razões trigonométricas podemos escrever alguns fatos:

No triângulo retângulo $OP_2K$ , obtemos:

$sen(\alpha+\beta)=\frac{\overline{P_2K}}{OP_2}=\overline{P_2K}=\overline{P_2J}+\overline{JK}=\overline{P_2J}+\overline{EL}$

No triângulo retângulo $OEL$ , obtemos:

$sen\alpha=\frac{\overline{EL}}{\overline{OE}}\Rightarrow \overline{EL}=\overline{OE}sen\alpha$

No triângulo retângulo $P_2JE$ , obtemos:

$cos\alpha=\frac{\overline{P_2J}}{\overline{P_2E}}\Rightarrow \overline{P_2J}=\overline{P_2E}\cdot cos\alpha$

Substituindo ambos os resultados na equação inicial podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$sen(\alpha+\beta)=\overline{P_2J}+\overline{EL}$
$sen(\alpha+\beta)=\overline{P_2E}\cdot cos\alpha+\overline{OE}sen\alpha$

Agora, vamos descobrir como representar $\overline{P_2E}$ e $\overline{OE}$ .

No triângulo retângulo $OEP_2$ , obtemos:

$sen\beta=\frac{\overline{P_2E}}{OP_2}=\frac{\overline{P_2E}}{1}=\overline{P_2E}$

CosB = OE/OP² = OE/1 = OE

Substituindo na equação de $sen(\alpha+\beta)$ , obtemos:

$sen(\alpha+\beta)=\overline{P_2E}\cdot cos\alpha+\overline{OE}sen\alpha$
$sen(\alpha+\beta)=sen\beta\cdot cos\alpha+cos\beta\cdot sen\alpha$

Ou ainda, $sen(\alpha+\beta)=sen\alpha\cdot cos\beta+sen\beta\cdot cos\alpha$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Calcule o valor de $sen75^{\circ}$ .

Resolução:

Observe que $75^{\circ}=30^{\circ}+45^{\circ}$ portanto, podemos escrever que $sen75^{\circ}=sen(30^{\circ}+45^{\circ})$ .

Aplicando a fórmula que acabamos de demonstrar, temos:

$sen75^{\circ}=sen(30^{\circ}+45^{\circ})=sen30^{\circ}\cdot cos45^{\circ}+sen45^{\circ}\cdot cos30^{\circ}$
$sen75^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sen75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

O SEN(α – β)

Para obtermos a fórmula do seno da diferença de dois arcos faremos uso de fatos já estudados em módulos anteriores.

Quando estudamos o ciclo trigonométrico vimos que sen(-x) = sen x e também que cos(-x) = cos x.

Usando a ideia de que uma diferença pode ser reescrita como a soma com o simétrico $[x-y=x+(-y)]$ podemos utilizar a mesma fórmula já provada para obter o seno da diferença.

Veja: sen(α – β) = sen[α + (- β)]

Assim, temos:

sen(α – β) = sen[α + (–β)] = senα · cos(–β) + sen(–β) · cosα

Substituindo o seno e o cosseno dos arcos negativos, vem:

sen(α – β) – senα . cosβ + (– senβ) . cos α

sen(α – β) = senα . cos β – senβ . cosα

EXERCÍCIO RESOLVIDO

02. Calcule o $sen15^{\circ}$ .

Resolução:

Observe que $15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$ portanto, podemos escrever que $15^{\circ}=sen(45^{\circ}-30^{\circ})$ .

Aplicando a fórmula que acabamos de demonstrar, temos:

sen15° = sen(45° – 30°) = sen45° . cos30° – sen30° . cos45°

$sen15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$sen15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

O COS(α + β)

Quando estudamos os triângulos retângulos tivemos o primeiro contato com a trigonometria conhecemos então, os arcos complementares.

Vimos que se $\alpha+\beta=90^{\circ}$ então o $sen\alpha=cos\beta$ e $cos\alpha=sen\beta$ .

Nesse módulo escreveremos esse mesmo fato de outra forma mais conveniente.

$senx=cos(90^{\circ}-x)\, \textup{e}\, cosx=sen(90^{\circ}-x)$

Para encontrarmos o $cos(\alpha+\beta)$ faremos uso da fórmula já estudada dos senos.

Demonstração:

$cos(\alpha+\beta)=sen[90^{\circ}-(\alpha+\beta)]$

Reorganizando podemos utilizar de maneira eficaz a fórmula estudada anteriormente, veja:

$cos(\alpha+\beta)=sen[90^{\circ}-(\alpha+\beta)]=sen[90^{\circ}-\alpha-\beta]=sen[(90^{\circ}-\alpha)-\beta]$

Aplicando a fórmula de diferença de arcos, temos:

$cos(\alpha+\beta)=sen[90^{\circ}-(\alpha+\beta)]=sen[90^{\circ}-\alpha-\beta]=sen[(90^{\circ}-\alpha)-\beta]$

Como já relembramos os arcos complementares podemos fazer uma pequena substituição:

$cos(\alpha+\beta)=sen[(90^{\circ}-\alpha )-\beta]=cos\alpha\cdot cos\beta-sen\beta\cdot sen \alpha$

Portanto, $cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta-sen\beta\cdot sen\alpha.$ .

EXERCÍCIO RESOLVIDO

03. Calcule $cos135^{\circ}$

Solução:

Note que $135^{\circ}=90^{\circ}+45^{\circ}$ , dessa forma, podemos dizer que $135^{\circ}=(90^{\circ}+45^{\circ})$ .

Aplicando a fórmula de adição de arcos, temos:

$cos135^{\circ}=cos(90^{\circ}+45^{\circ})=cos90^{\circ}\cdot cos45^{\circ}-sen90^{\circ}\cdot sen 45^{\circ}$

$cos135^{\circ}=0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

O COS(α – β)

O processo para desenvolvermos a fórmula de subtração dos cossenos é semelhante a usada na subtração de arcos em senos.

Veja:

$cos(\alpha-\beta)=cos[\alpha+(-\beta)]$
$cos(\alpha-\beta)=cos[\alpha+(-\beta)]=cos\alpha\cdot cos(-\beta)-sen(-\beta)\cdot sen\alpha$

Substituindo o seno e o cosseno dos arcos negativos, temos:

$cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta-(-sen\beta)\cdot sen\alpha$
$cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta+sen\beta\cdot sen\alpha$

Nem sempre essas fórmulas serão usadas para calcular senos e cossenos de ângulos conhecidos. Alguns exercícios precisarão dessas fórmulas apenas para simplificação ou para uma escrita mais conveniente de certas razões trigonométricas.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Qual a forma mais simples da expressão $\frac{cosx\cdot cos(180^{\circ}-x)}{senx\cdot cos(x-270^{\circ})}$ ?

Solução

Vamos resolver independentemente cada um dos fatores apresentados:

$cos(180^{\circ}-x)=-cosx$

Nesse caso, podemos utilizar a fórmula mas não é necessária visto que já estudamos a redução de quadrantes. (use a fórmula para verificar!)

$cos(x-270^{\circ})= cosx\cdot cos270^{\circ}= cosx\cdot 0+senx\cdot (-1)$
$cos(x-270^{\circ})=senx$

Substituindo na expressão dada, temos:

$\frac{cosx\cdot cos(180^{\circ}-x)}{senx\cdot cos(x-270^{\circ})}=\frac{cosx\cdot (-cosx)}{senx\cdot (-senx)}=\frac{-cos^2\, x}{-sen^2\, x}=\frac{cos^2x}{sen^2x}=cotg^2x$

A TG(α + β)

Após descrevermos os métodos para seno e cosseno acima, nos resta buscar um método para as tangentes da soma e da diferença de arcos. O processo é bem mais simples.

Para começar, é necessário sabermos que $tg\, x=\frac{sen\, x}{cos\, x}$ , assim, $tg(\alpha +\beta)=\frac{sen(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}$ .

Substituindo pelas fórmulas já demonstradas, temos:

$tg(\alpha+\beta)=\frac{sen(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}=\frac{sen\alpha\cdot cos\beta+sen\beta\cdot cos\alpha}{cos\alpha\cdot cos\beta-sen\alpha \cdot sen\beta}$

Essa relação, diferentemente das anteriores, é válida para os valores de α, β e α + β que pertencem ao domínio da função tangente, isto é, todos eles são diferentes de 90° + 180°k, em que k ∈ ℤ.

A TG(α – β)

O processo para desenvolvermos a fórmula de subtração das tangentes é semelhante das anteriores. Para isso, é necessário conhecer que tg(–x) = –tgx. Dessa forma, reescrevemos tg(α – β) = tg[α + (–β)]
Aplicando na fórmula, já conhecida das tangentes, temos:

EXERCÍCIO RESOLVIDO

05. Sabendo que Tg a = 1/2 e tgβ =, calcule :

a) tg(α + β)
b) tg(α – β)
c) tg(β – α)

Resolução:

A figura acima representa a resolução do problema apresentado anteriormente.

OBSERVAÇÃO

A partir das fórmulas de soma de arco é possível encontrar uma solução para casos em que os arcos a e b são iguais.
Nesse caso, podemos chamar de ARCO DUPLO.
a = x e b=x → a + b = x+x = 2x

I. sen(2x) = sen(x + x) = senx · cosx + senx · cosx

sen(2x) = 2. senx . cosx

II. cos(2x) = cosx + x = cosx · cosx – senx · senx

sen(2x) = 2 . senx . cosx

III. tg(2x) = tg(x + x) = tgx + tgx/1-tgx . tgx

tg(2x) = 2tgx/1-tg²x

Mas também é possível buscar fórmulas adequadas para o uso do ARCO METADE.
Veja os processos abaixo:

• Para encontrar uma expressão de cos = (x/2) :

Tomando a identidade trigonométrica sen²a + cos²a = 1, isolando o seno

sen²a = 1 – cos²a e substituindo em cos(2a) = cos²a – sen²a teremos que

cos(2a) = cos²a – (1 – cos²a) cos(2a) = cos²a – 1 + cos²a cos(2a) = 2 · cos²a – 1

Agora considere que o arco a é a metade do arco 2a, e onde está escrito 2a pode ser substituído por x, e a metade de seu arco será x/2 . Assim

cos(x) = 2 . cos² (x/2) – 1

Logo, isolando o termo cos(x/2) verá que

cos(x) + 1/2 = cos²(x/2) → (x/2) = + √1+cos(x)/2

• Para encontrar uma expressão de sen (x/2):

Tomando a identidade trigonométrica sen²a + cos²a = 1, isolando o cosseno

cos²a = 1 – sen²a e substituindo em cos(2a) = cos²a – sen²a teremos que

cos (2a) = (1 – sen² a) – sen² a

cos(2a) = 1 – 2 . sen² a

Agora considere que o arco a é a metade do arco 2a, e onde está escrito 2a pode ser substituído por x, e a metade de seu arco será x/2. Assim

cos(x) = 1 – 2 . sen² (x/2)

Logo, isolando o termo sen(x/2) verá que

1 – cos(x)/2 = sen²(x/2) → sen(x/2) = + √1-cos(x)/2

• Para encontrar uma expressão de tg(x/2):

Trigonometria – Adição e Subtração de arcos

Trigonometria – Adição e Subtração de arcos

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

ADIÇÃO DE ARCOS

O SEN(α + β)

O SEN(α – β)

O COS(α + β)

O COS(α – β)

A TG(α + β)

A TG(α – β)

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