Estude com quem mais aprova. escolha um plano e faça parte dos milhares de alunos que são aprovados todos os anos com o Proenem
Pesquisar

Estude para o Enem totalmente grátis

FUNÇÃO DO 1° GRAU – Técnicas para resolução de Problemas

FUNÇÃO DO 1° GRAU – Técnicas para resolução de Problemas

Muitos problemas matemáticos podem ser resolvidos com o uso da função do 1º grau. No módulo anterior vimos como manipular ou encontrar uma função desse tipo e também reconhece-las.

Neste módulo aprenderemos duas técnicas muito relevantes na resolução de problemas do primeiro grau: a construção da função afim (resolução analítica) e a semelhança de triângulos (resolução gráfica).

Uma das formas mais simples de construção da função afim é a partir da sua taxa de variação (coeficiente angular) e de um valor fixo (coeficiente linear).

Muitos problemas podem ser resolvidos facilmente com essa interpretação.

Exemplo 1:

Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros. 

Função:





O preço será de R$ 16,10

Nem sempre é possível escrever tão imediatamente a função afim com os dados do problema e por isso é preciso conhecer uma outra técnica que chamaremos de sistemas de primeiro grau. Observe no exemplo abaixo que serão fornecidas duas informações sobre a função. Usaremos as informações dadas para construir um sistema de duas equações e duas incógnitas (queremos descobrir os dois coeficientes da função, a e b).

O sistema que será montado sempre pode ser resolvido por mais de uma forma, sinta-se livre para fazê-lo da forma que se sentir mais confortável.

Após descobrir os valores dos coeficientes teremos a função afim pronta e podemos descobrir qualquer ponto dessa função.

Veja abaixo um exemplo que ilustra essa situação.

Exemplo 2:

(PUC-BH) A função linear R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses. 

Resolução:








Portanto: 

Na 1ª equação


Na 2ª equação





Substituindo a 1ª equação



Portanto, a função será:




O rendimento obtido nessa aplicação será de R$ 5 000,00. 

Contudo quando há gráficos nas questões, podemos utilizar tudo que foi aprendido no módulo anterior para resolver o problema.

Exemplo 3:

(UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:

a) 4,50
b) 5,00
c) 5,50
d) 6,00

Resolução: A

Solução 1: Coeficientes Lineares

Temos os pontos P(5, 150) e Q(30, 50).

Em, vez de fazer o sistema linear, podemos usar a fórmula do coeficiente linear:

a = ∆y  

        ∆x

a = 50 – 150 / 30 – 5 = -100 / 5 = -4

Então temos a função: f(x) = – 4x+b
Para determinar o b, vamos usar qualquer ponto dado, por exemplo, o ponto Q(30, 50).

50 = -4(30) + b

b = 170

Chegamos então à função f(x) = – 4x + 170.

Como queremos saber o valor unitário quando vendemos 20 bolsas, usaremos x = 20

f(20) = – 4 · 20 + 170 = 90

Cada bolsa vale então 90/20 = 4,50

Solução 2: Semelhança

Construímos dois triângulos retângulos a partir dos pontos do gráfico e calculamos suas bases e alturas, como na figura abaixo:

Agora basta aplicar o conhecimento geométrico de semelhança:

100/150 – y = 25/15

150 – y = 60

y = 90

Pagamos então 90 reais por 20 bolsas, o que dá o preço unitário de 90/20 = 4,50

Exemplo 3:

(ENEM -2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.

A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é
a) L(t) = 20t + 3 000
b) L(t) = 20t + 4 000
c) L(t) = 200t
d) L(t) = 200t – 1 000
e) L(t) = 200t + 3 000

Resolução: D

O termo independente b é o ponto em que a função corta o eixo y, portanto b = – 1000
O coeficiente linear pode ser calculado através da tangente da função:

Exemplo 4:
(ENEM 2016) O percentual da população brasileira conectada à internet aumentou nos anos de 2007 a 2011. Conforme dados do Grupo Ipsos, essa tendência de crescimento é mostrada no gráfico.

Suponha que foi mantida, para os anos seguintes, a mesma taxa de crescimento registrada no período 2007-2011.

A estimativa para o percentual de brasileiros conectados à internet em 2013 era igual a:

a) 56,40%.
b) 58,50%.
c) 60,60%.
d) 63,75%.
e) 72,00%.

Resolução: B
Como tem o gráfico, optamos por semelhança. Completando o gráfico, teremos o seguinte:

Agora, aplicando a semelhança, chegamos a seguinte equação:

4/6 = 21/y-27

2/3 = 21/y-27

63 = 2y – 54

2y = 117

y = 58,5

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS

MÉTODO DA ADIÇÃO

1º exemplo: 

{ x-y = 3 

{ x+y = 5 

Observa-se que os coeficientes da variável y são opostos. Dessa forma, adicionando membro a membro as equações, temos:

(x – y) + (x + y) = 3 + 5
2x = 8
x = 4

Substituindo x em qualquer uma das equações:
x – y = 3
4 – y = 3
y = 1

Logo a solução do sistema é o par ordenado (4, 1).

2º exemplo:

{ 2x + y = 7

{ 5x – 3y = 1 

Neste sistema precisaremos fazer uma adaptação antes de somar as equações.
Multiplicaremos todos os termos da primeira equação por 3, de modo que os coeficientes de y ficarão simétricos.

{6x + 3y = 21

{ 5x – 3y = 1

Agora, adicionando membro a membro, vem:
(6x + 3y) + (5x – 3y) = 21 + 1
11x = 22
x = 2

Substituindo x em qualquer uma das equações:
2x + y = 7
2·2 + y = 7
4 + y = 7
y = 3

Logo a solução do sistema é o par ordenado (2, 3).

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Outro método bastante utilizado é o método da substituição, que consiste no isolamento de uma das incógnitas numa equação e a substituição da expressão obtida na outra equação. Observe que os métodos são opcionais, qualquer outro método pode ser utilizado.

Observe a resolução do exemplo anterior agora pelo método da substituição.

{ 2x + y = 7

{ 5x – 3y = 1

Isolando o y na primeira equação, temos:
y = 7 – 2x

Substituindo essa expressão na segunda equação, temos:

5x – 3y = 1
5x – 3(7 – 2x) = 1
5x – 21 + 6x = 1
11x = 22
x = 2

Substituindo em qualquer equação obtemos o valor de y assim como na técnica anterior

Quer aquele empurrãozinho a mais para seu sucesso?

Baixe agora o Ebook DICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENEM, gratuitamente!

Precisando de ajuda?

Entre em contato agora

👋E aí, ProAluno! Em que posso te ajudar?
Central de Vendas Central do Aluno