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Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Aprenda sobre as Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 

ELEMENTOS

Considere um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A.

 

Nesse triângulo retângulo ABC temos:

 é a hipotenusa.

, são os catetos.

 é a altura relativa a hipotenusa.

 é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.

 é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa.

As seguintes relações métricas são verdadeiras:





Vamos agora demonstrar essas relações.

Note que, 

Traçando a altura  e dividindo em dois triângulos, temos:

Dessa forma, podemos observar que os três triângulos são semelhantes dois a dois.

Semelhança 1:

Como ∆ABC ~ ∆DBA, temos que c/a = n/c em que c² = a . n 

Além disso, temos também que b/a = h/c em que b . c = a . h 

Semelhança 2:

Usando agora ∆ABC ~ ∆DAC, temos que b/a = m / b em que b² = a . m 

Semelhança 3:

Usando agora ∆DBA ~ ∆DAC, temos que h/n = m/n = em que h² = m.n

Resumindo:

b² = a . m e c² = a . n

(o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto)

h² = m . n

(o quadrado da altura é igual ao produto das projeções)

b · c = a · h

(o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura)

Uma consideração importante é que uma das formas de obtermos a fórmula do Teorema de Pitágoras vem dessas semelhanças. Note que somando, membro a membro, as duas relações a seguir, vem:

Colocando a em evidência, temos:

b² + c² = a .(m + n)

Sabemos que m + n = a. Dessa forma, obtemos b² + c² = a².

(A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa – Teorema de Pitágoras)

TERNOS PITAGÓRICOS

Chamamos de ternos pitagóricos os ternos de números naturais que atendem ao Teorema de Pitágoras.

Observe abaixo alguns exemplos:
3, 4 e 5.
6, 8 e 10.
9, 12 e 15.

5, 12 e 13.
10, 24 e 26.

Podemos notar que existe uma relação de proporcionalidade entre elementos dos ternos 3, 4 e 5 e os elementos dos ternos 6, 8 e 10 e do terno 9, 12 e 15.

Dizemos então que estes três ternos são da mesma família. Observe que ainda poderíamos obter mais ternos desta família apenas multiplicando o terno 3, 4 e 5 por outros números naturais.

Chamaremos de primitivo um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4 e 5), (5, 12 e 13), (7, 24 e 25), (8, 15 e 17) entre outros…

FÓRMULA DE EUCLIDES

a = m² − n², b = 2mn e c = m² + n², esse terno a, b e c é pitagórico mas é primitivo se, e só se, m e n são números naturais primos entre si e m > n.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. Em um triângulo retângulo os catetos medem 7 cm e 24 cm. Calcule:

a) A medida da hipotenusa.
b) A medida da altura relativa a hipotenusa.

Resolução:

Para encontrar a hipotenusa usaremos que b² + c² = a².

72 + 242 = a²
49 + 576 = a²
625 = a²
Logo, a = 25.

Para encontrarmos a medida da altura relativa a hipotenusa usaremos que b . c = a . h.

Dessa forma, 7 . 24 = 25 . h ⇒ 168 = 25 . h ⇒ h = 6,72.

02. Determine os valores de m e n na figura abaixo:

Resolução:

Note que podemos encontrar o valor de m, a partir da relação b² = a.m e conhecendo o valor de m o cálculo de n é
imediato, pois m + n = 16.

8² = 16 . m
64 = 16 . m
m = 4

Com isso, temos que n = 12.

03. Calcule o valor de n no triângulo abaixo:

Resolução:

Podemos encontrar o valor de n usando h² = m . n.

15² = 9 . n
225 = 9 . n
n = 25

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