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Teoria de Funções

Teoria de Funções

Aprenda sobre a Função: teoria e tipologia. 

PAR ORDENADO

Um par ordenado (a, b) é um par de objetos matemáticos cuja ordem de ocorrência desses objetos é signifi cante. Consiste de dois elementos, por exemplo, a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro elemento e o outro como segundo elemento. Um par ordenado é designado por (a, b). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.

(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d

PLANO CARTESIANO

Consiste no sistema formado por dois eixos perpendiculares. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo dos x) e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo dos y).

REPRESENTAÇÃO DE UM PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO

As coordenadas de um ponto P são representadas por P (x, y) onde o 1o valor (x) representa a abscissa e o 2o valor (y) representa a ordenada.

Exemplo:

Represente no plano cartesiano os pontos A (2, 4), B (-1, 5) e C (3, 0).

PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B e indica-se por A x B, ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) com

Exemplo:

Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5} então

A x B = {(1, 4),(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

B x A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}

Observação




Exemplo:

Quantos elementos possui A x B, sabendo que A= {1,2,3,4,6} e B= {3,4,6,8,10,12}



Portanto A x B terá 30 elementos.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PRODUTO CARTESIANO

Exemplo:

Se A = { 2,3 } e B = { 4,5 }, então

A x B = {(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

Que poderá ser representado de duas maneiras:

Atenção: Se , então o produto cartesiano A x B (conjuntos infinitos) terá infinitos pontos, sendo possível representá-lo apenas no plano cartesiano.

RELAÇÕES

Dados dois conjuntos A e B quaisquer, a relação IR de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.

Exemplo 1:





Observação

Geralmente as relações seguem uma determinada lei de associação, ou seja, uma “relação” entre os elementos x e y de um par ordenado. No exemplo acima, poderíamos definir a Relação (R1) da seguinte forma:

Exemplo 2:

Dados , represente a relação de A em B dada por 

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA RELAÇÃO

Como a relação R de A em B é um subconjunto de A x B, a sua representação gráfica poderá ser feita da mesma forma que o produto cartesiano A x B, porém representado apenas a parte referente a essa relação.

Exemplo 1:



FUNÇÃO

Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B, quando a cada elemento (x) do conjunto de partida (A) está associado a um e somente um elemento (y) do conjunto de chegada (B)

Exemplo 1:

Dados os conjuntos A = {-2,-1,0}, B = {3,4,5,6} e a relação de A em B expressa por y = x + 5, Essa relação é uma função? Justifique.

Todos os elementos do conjunto de partida (A) estão associados a elementos do conjunto de chegada (B). Cada elemento do conjunto de partida (A) está associado a um único elemento do conjunto de chegada (B). Logo, essa relação é uma função.

Exemplo 2:





Exemplo 3:

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Se f é uma função de A em B, então:

O conjunto de partida (A) passa a se chamar domínio (D).

O conjunto de chegada (B) passa a se chamar contradomínio (CD).

O conjunto de todos os elementos y de B para os quais existe, pelo menos, um elemento x de A, tal que f(x) = y é denominado imagem (Im).

Exemplo:












ESTUDO DO DOMÍNIO

Quando o domínio em ℝ não estiver explícito, devemos considerar para esse domínio todos os valores, reais de x que tornam possíveis em ℝ as sentenças matemáticas que definem a função (condições de existência).

RESTRIÇÕES DO DOMÍNIO

1º caso:

f (x) = a/g(x) → g(x) ≠ 0 

Exemplo:

f(x) = x+5/2x – 8

2x – 8 ≠ 0
2x ≠ 8
x ≠ 4
Dom = {x ∈ ℝ I x ≠ 4}

2º caso:

f(x) = ²ⁿ√g(x)  g(x) > 0

Exemplo:

f(x) = √x² – 9 

x² – 9 ≥ 0
x² ≥ 9
x ≤ – 3 ou x ≥ 3
Dom = {x ∈ ℝ I x ≤ -3 ou x ≥ 3}

3º caso:

f(x) = a/√g(x)  → g(x) > 0 

Exemplo:

f(x) = 3x + 15/√2x+4

2x + 4 > 0
2x > -4
x > -2
Dom = {x ∈ ℝ I x > -2}

Mais exemplos:

Exemplo 1: 

Exemplo 2: 

Exemplo 3: 

Exemplo 4:  2x + 1/√x-4  Dom = { x ∈ ℝ  / x >4}

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Determine o domínio da função f(x)=, definida em IR.

Condição de existência 3x + 6 ≠ 0

3x ≠ -6 → x ≠ -2

02. Determine o domínio da função

x – 2 ≥ 0         x – 1 > 0

x ≥ 2               x > 1

D = {x ∈ ℝ / x > 2} 

DOMÍNIO, IMAGEM E FUNÇÃO ATRAVÉS DO GRÁFICO

FUNÇÃO

Seja f uma relação de em e o seu gráfico cartesiano. Essa relação será uma função se, e somente se, toda seta paralela ao eixo y que passa por um ponto de abscissa cortar o gráfico em um único ponto.

Exemplo 1:

Exemplo 2: 

DOMÍNIO E IMAGEM

Domínio de f é o conjunto de todas as abscissas dos pontos que fazem parte da representação gráfica de f. Em outras palavras, domínio é a projeção do gráfico de f sobre o eixo x.

 Imagem de f é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos que fazem parte da representação gráfica de f. Em outras palavras, imagem é a projeção do gráfico de f sobre o eixo y.

Dom= [-2,4]

Im= [2,3]

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

FUNÇÃO SOBREJETORA

É a função que possui o contradomínio igual a imagem.

FUNÇÃO INJETORA

É a função em que quaisquer dois elementos distintos do seu domínio têm imagem distintas.

FUNÇÃO BIJETORA

É a função que, simultaneamente, é sobrejetora e injetora.

FUNÇÃO SIMPLES

É a função que não se enquadra nos casos acima.

FUNÇÃO PAR

É a função que, para todo valor de x, possui:
f(x) = f(-x)

Exemplo:
f(x) = x²
f(2) = 4
f(-2) = 4
Logo f(2) = f(-2)

Verifique que isso ocorre para todos os valores de x pois a função é par.

FUNÇÃO ÍMPAR

É a função que, para todo valor de x, possui:
f(x) = – f(-x)

Exemplo 1:

f(x) = 2x
f(2) = 4
f(-2) = – 4
Logo f(2) = – f(-2).

Verifique que isso ocorre para todos os valores de x pois a função é ímpar.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

OBSERVAÇÃO

Uma função que não apresenta qualquer das características acima é chamada de função nem par nem impar.

Exemplo 2:

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

y = x²

Exemplo 3:

y = x³

FUNÇÃO CRESCENTE

Se A ⊂ D (f), dizemos que f é crescente em A se, e somente se, a um maior valor de x corresponder um maior valor de f(x), ou seja:

x²> x¹ → f(x²) > f(x¹), ∀ x¹, x² ∈ A

Exemplo:

FUNÇÃO DECRESCENTE

Se A ⊂ D (f), dizemos que f é decrescente em A se, e somente se, a um maior valor de x corresponder um menor valor de f(x), ou seja:

x²> x¹ → f(x²) < f(x¹), ∀ x¹, x² ∈ A

Exemplo 1: 

FUNÇÃO CONSTANTE

Se A ⊂ D (f) dizemos que f é constante em A se, e somente se:

f (x¹) = f (x²), ∀ x¹, x² ∈ A

Exemplo 2:

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