Teoria de Funções
Aprenda sobre a Função: teoria e tipologia.
PAR ORDENADO
Um par ordenado (a, b) é um par de objetos matemáticos cuja ordem de ocorrência desses objetos é signifi cante. Consiste de dois elementos, por exemplo, a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro elemento e o outro como segundo elemento. Um par ordenado é designado por (a, b). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.
(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
PLANO CARTESIANO
Consiste no sistema formado por dois eixos perpendiculares. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo dos x) e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo dos y).
REPRESENTAÇÃO DE UM PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO
As coordenadas de um ponto P são representadas por P (x, y) onde o 1o valor (x) representa a abscissa e o 2o valor (y) representa a ordenada.
Exemplo:
Represente no plano cartesiano os pontos A (2, 4), B (-1, 5) e C (3, 0).
PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B e indica-se por A x B, ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) com
Exemplo:
Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5} então
A x B = {(1, 4),(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
B x A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
Observação
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Exemplo:
Quantos elementos possui A x B, sabendo que A= {1,2,3,4,6} e B= {3,4,6,8,10,12}
Portanto A x B terá 30 elementos.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PRODUTO CARTESIANO
Exemplo:
Se A = { 2,3 } e B = { 4,5 }, então
A x B = {(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}
Que poderá ser representado de duas maneiras:
Atenção: Se , então o produto cartesiano A x B (conjuntos infinitos) terá infinitos pontos, sendo possível representá-lo apenas no plano cartesiano.
RELAÇÕES
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, a relação IR de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.
Exemplo 1:
Observação
Geralmente as relações seguem uma determinada lei de associação, ou seja, uma “relação” entre os elementos x e y de um par ordenado. No exemplo acima, poderíamos definir a Relação (R1) da seguinte forma:
Exemplo 2:
Dados , represente a relação de A em B dada por
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA RELAÇÃO
Como a relação R de A em B é um subconjunto de A x B, a sua representação gráfica poderá ser feita da mesma forma que o produto cartesiano A x B, porém representado apenas a parte referente a essa relação.
Exemplo 1:
FUNÇÃO
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B, quando a cada elemento (x) do conjunto de partida (A) está associado a um e somente um elemento (y) do conjunto de chegada (B)
Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0}, B = {3,4,5,6} e a relação de A em B expressa por y = x + 5, Essa relação é uma função? Justifique.
Todos os elementos do conjunto de partida (A) estão associados a elementos do conjunto de chegada (B). Cada elemento do conjunto de partida (A) está associado a um único elemento do conjunto de chegada (B). Logo, essa relação é uma função.
Exemplo 2:
Exemplo 3:
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Se f é uma função de A em B, então:
O conjunto de partida (A) passa a se chamar domínio (D).
O conjunto de chegada (B) passa a se chamar contradomínio (CD).
O conjunto de todos os elementos y de B para os quais existe, pelo menos, um elemento x de A, tal que f(x) = y é denominado imagem (Im).
Exemplo:
ESTUDO DO DOMÍNIO
Quando o domínio em ℝ não estiver explícito, devemos considerar para esse domínio todos os valores, reais de x que tornam possíveis em ℝ as sentenças matemáticas que definem a função (condições de existência).
RESTRIÇÕES DO DOMÍNIO
1º caso:
f (x) = a/g(x) → g(x) ≠ 0
Exemplo:
f(x) = x+5/2x – 8
2x – 8 ≠ 0
2x ≠ 8
x ≠ 4
Dom = {x ∈ ℝ I x ≠ 4}
2º caso:
f(x) = ²ⁿ√g(x) g(x) > 0
Exemplo:
f(x) = √x² – 9
x² – 9 ≥ 0
x² ≥ 9
x ≤ – 3 ou x ≥ 3
Dom = {x ∈ ℝ I x ≤ -3 ou x ≥ 3}
3º caso:
f(x) = a/√g(x) → g(x) > 0
Exemplo:
f(x) = 3x + 15/√2x+4
2x + 4 > 0
2x > -4
x > -2
Dom = {x ∈ ℝ I x > -2}
Mais exemplos:
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Exemplo 4: 2x + 1/√x-4 Dom = { x ∈ ℝ / x >4}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Determine o domínio da função f(x)=, definida em IR.
Condição de existência 3x + 6 ≠ 0
3x ≠ -6 → x ≠ -2
02. Determine o domínio da função
x – 2 ≥ 0 x – 1 > 0
x ≥ 2 x > 1
D = {x ∈ ℝ / x > 2}
DOMÍNIO, IMAGEM E FUNÇÃO ATRAVÉS DO GRÁFICO
FUNÇÃO
Seja f uma relação de em
e o seu gráfico cartesiano. Essa relação será uma função se, e somente se, toda seta paralela ao eixo y que passa por um ponto de abscissa
cortar o gráfico em um único ponto.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
DOMÍNIO E IMAGEM
Domínio de f é o conjunto de todas as abscissas dos pontos que fazem parte da representação gráfica de f. Em outras palavras, domínio é a projeção do gráfico de f sobre o eixo x.
Imagem de f é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos que fazem parte da representação gráfica de f. Em outras palavras, imagem é a projeção do gráfico de f sobre o eixo y.
Dom= [-2,4]
Im= [2,3]
CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES
FUNÇÃO SOBREJETORA
É a função que possui o contradomínio igual a imagem.
FUNÇÃO INJETORA
É a função em que quaisquer dois elementos distintos do seu domínio têm imagem distintas.
FUNÇÃO BIJETORA
É a função que, simultaneamente, é sobrejetora e injetora.
FUNÇÃO SIMPLES
É a função que não se enquadra nos casos acima.
FUNÇÃO PAR
É a função que, para todo valor de x, possui:
f(x) = f(-x)
Exemplo:
f(x) = x²
f(2) = 4
f(-2) = 4
Logo f(2) = f(-2)
Verifique que isso ocorre para todos os valores de x pois a função é par.
FUNÇÃO ÍMPAR
É a função que, para todo valor de x, possui:
f(x) = – f(-x)
Exemplo 1:
f(x) = 2x
f(2) = 4
f(-2) = – 4
Logo f(2) = – f(-2).
Verifique que isso ocorre para todos os valores de x pois a função é ímpar.
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
OBSERVAÇÃO
Uma função que não apresenta qualquer das características acima é chamada de função nem par nem impar.
Exemplo 2:
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
y = x²
Exemplo 3:
y = x³
FUNÇÃO CRESCENTE
Se A ⊂ D (f), dizemos que f é crescente em A se, e somente se, a um maior valor de x corresponder um maior valor de f(x), ou seja:
x²> x¹ → f(x²) > f(x¹), ∀ x¹, x² ∈ A
Exemplo:
FUNÇÃO DECRESCENTE
Se A ⊂ D (f), dizemos que f é decrescente em A se, e somente se, a um maior valor de x corresponder um menor valor de f(x), ou seja:
x²> x¹ → f(x²) < f(x¹), ∀ x¹, x² ∈ A
Exemplo 1:
FUNÇÃO CONSTANTE
Se A ⊂ D (f) dizemos que f é constante em A se, e somente se:
f (x¹) = f (x²), ∀ x¹, x² ∈ A
Exemplo 2:
