Função composta e Função Inversa

FUNÇÃO COMPOSTA

Dadas duas funções f e g, podemos obter outras funções através da composição das mesmas.

Por exemplo:

gof (x) = g(f(x)) → diz-se função composta de g com f.
fog (x) = f(g(x)) → diz-se função composta de f com g.

OBSERVAÇÃO

Uma composição g(f(x)) só será possível quando o contra-domínio de f(x) for igual ao domínio de g(x).

Exemplo 1:

Se A = {0, 1}, B = {4, 5} e C = {2, 3} e as funções f: A → B com f (x) = x + 4 e g: B → C com g(x) = x – 2

Cálculo:

g(x) = x – 2
g(f(x)) = f(x) -2
g(f(x)) = x + 4 – 2
g(f(x)) = x + 2

1º tipo:
Quando temos duas funções e pedimos para compor uma nova.

Exemplo 2:

Se f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, determine f(g(x)), f(f(x)) e f(g(3)).

a) f(x) = 2x – 1
f(g(x)) = 2g(x) – 1
f(g(x)) = 2(3x + 2) – 1
f(g(x)) = 6x + 4 – 1
f(g(x)) = 6x + 3

b) f(x) = 2x – 1
f(f(x)) = 2(f(x)) – 1
f(f(x)) = 2(2x – 1) – 1
f(f(x)) = 4x – 2 – 1
f(f(x)) = 4x – 3

c) f(g(x)) = 6x + 3
f(g(3)) = 6(3) + 3
f(g(3)) = 21

2º tipo:
Quando damos a composta, a função de fora e pedimos a de dentro.

Exemplo 3:

Se f(g(x)) = 6x + 3 e f(x) = 2x – 1, determine g(x).

f(x) = 2x – 1
f(g(x)) = 2g(x)-1
6x + 3 = 2 g(x) -1
6x + 4 = 2 g(x)
g(x) = 3x + 2

3º tipo:
Quando damos a composta, a função de dentro e pedimos a de fora.

Exemplo 4:

Se f(g(x)) = 6x + 3 e g(x) = 3x + 2, determine f(x).

f(g(x)) = 6x + 3
f(3x + 2) = 6x + 3

Chamamos 3x + 2 de k e isolamos x para substituir.
3x + 2 = k
3x = k – 2

x = k-2/3

Voltando na função, teremos então:

f(k) = 6 (k-2/3) +3

f(k) = 4k – 4 + 3

f(k) = 2k-1

Chamamos agora k de x, ficando com
f(x) = 2x – 1

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (MACKENZIE) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é:

a) 9/4 

b) 5/4 

c) – 6/5 

d)  9/5 

e) – 2/3

Resolução: C
f(g(x)) = 3 – 4(3x + m) = 3 – 12x – 4m
g(f(x)) = 3(3 – 4x) + m = 9 –12x + m

Como f°g(x) = g°f(x), então,
3 – 12x – 4m = 9 – 12x + m
3 – 4m = 9 + m
5m = – 6

M = – 6/5 

02. (PUC) Considere f(x) = x² – 1/x-2 e g(x) = x – 1. Calcula f(g(x)) para x = 4:

a) 6

b) 8

c) 2

d) 1 

e) 4 

Resolução: B

f°g(x) = (x-1)² – 1/(x-1)-2 = x² – 2x + 1 – 1/x-3 = x² – 2x/x=3 

f°g(4) = 4² – 2 . 4/4-3 = 8 

FUNÇÃO INVERSA

É a função que se obtém quando trocamos de posição os elementos de todos os pares ordenados da função f.

É importante saber que apenas a função bijetora admite função inversa.

Exemplo: 

Cálculo

I) Trocar x por y.

II) Isolar y.

Exemplo 1: Determine a função inversa de f(x) = x + 5.

Exemplo 2: Determine a função inversa de f(x) = 2x – 5

Exemplo 3: Determine a inversa de f(x) = x + 2/3x – 5 

y = x + 2/3x – 5

x = y + 2/3y – 5 

3xy – 5x = y + 2

3xy – y = 5x + 2

y(3x – 1) = 5x + 2

y = 5x + 2/3x – 1

f(x)-¹ = 5x + 2/3x – 1

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (UFMA) Se f(x) = 8x – 7/5x + 8 está definida para todo X ∈ ℝ – {- 8/5}, então o valor de f-¹(1) é:

a) -5

b) 6

c) 4 

d) 5

e) -6

Resolução: D

Solução 1
Calculamos a inversa e depois substituímos x = 1

y = 8x – 7/5x + 8

x = 8y – 7/5y + 8

5xy + 8x = 8y – 7
5xy – 8y = – 8x – 7
y (5x-8) = – 8x-7

f-¹ (x) = -8x -7/5x – 8

f-¹(1) = -8(1) – 7/5(1) – 8 = -15/-3 = 5 

Solução 2:

Como o x = 1 é o domínio da função inversa, é porque antes ele era a imagem da função f(x). podemos simplesmente
colocar y = 1, tendo então:

1 = 8x -7/5x + 8

5x + 8 = 8x – 7
3x = 15
x = 5

GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA

Os gráficos de determinada função e de sua inversa são representados pela simetria em relação à reta, onde y = x.