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Geometria Plana – Triângulos I

Geometria Plana – Triângulos I

Já vimos que o triângulo é um polígono com três lados. Nosso objetivo agora será explorar suas principais propriedades.

CLASSIFICAÇÃO DO TRIÂNGULO QUANTO AOS LADOS

Com relação as medidas de seus lados, podemos classificar um triângulo em equilátero, isósceles ou escaleno.

Triângulo equilátero, quando possui todos lados congruentes.

Uma observação importante é que quando o triângulo é equilátero, ele tem os três ângulos internos com a mesma medida. Como a soma dos três é 180º, segue que cada um dos três ângulos internos do triângulo equilátero mede 60º.

Triângulo isósceles, quando possui dois lados congruentes.

Vimos que um triângulo isósceles possui dois lados com a mesma medida (AB = AC) . O terceiro lado nós chamamos de base. E nesse caso, os ângulos adjacentes à base são sempre congruentes. Na figura, B=A.

Triângulo escaleno, quando possui todos lados com medidas diferentes.

CLASSIFICAÇÃO DO TRIÂNGULO QUANTO AOS ÂNGULOS

Com relação as medidas de seus ângulos, podemos classificar um triângulo em triângulo retângulo, triângulo acutângulo ou triângulo obtusângulo.

• Triângulo retângulo quando possui um ângulo reto;
• Triângulo acutângulo quando possui os três ângulos internos agudos;
• Triângulo obtusângulo quando possui um ângulo interno obtuso.

Veja as figuras:

OBSERVAÇÃO

Em todo triângulo, o maior ângulo está oposto ao maior lado.
Observe o exemplo abaixo:

Na figura, o maior ângulo é 100º. O maior lado é o lado oposto ao ângulo de 100º, portanto o maior lado é BC.

Base média do triângulo

Base média de um triângulo é o segmento que une os pontos médios de dois lados.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Sabendo que AB=AC=CD, e que o ângulo ADC=35° calcule os valores de x e y

Resolução:

Como o triângulo ∆ACD é isósceles, temos que o ângulo CÂD= 35° e com isso podemos determinar o ângulo ACD. Note que ACD = 110º pois a soma dos ângulos internos de um triângulo vale sempre 180º.

O ângulo ACB é suplemento do ângulo ACD e portanto temos que ACB = 70º.

Note que x =ACB = 70º pois o triangulo ∆ABC é isósceles.

Como a soma dos ângulos internos sempre vale 180º temos que BAC = 40º pois ABC + ACB = 70º + 70º = 140º.

O ângulo é externo ao ângulo BÂD = BÂC + CÂD = 40º +35º = 75º.

Concluímos que, y = 180º – 75º = 105º.

02. Na figura, AB=AC e AE=AD.

Sabendo que BÂD = 42º, calcule a medida do ângulo CDE.

Resolução:

Como AB = AC sabemos que o ângulo ABD = ACD = x, e como AE = AD sabemos que AED = ADE = y. Chamando o ângulo CDE = k, temos:

Pelo teorema do ângulo externo podemos escrever que y=k+x (y é ângulo externo do triângulo CDE).

Como a soma dos ângulos internos vale 180º temos que k + x + (180º – y) = 180° (Triângulo ∆ADC).

Substituindo concluímos que 2k – 42º = 0º e portanto CDE = k = 21º.

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

Dizemos que um triângulo “existe”, quando é possível construí-lo com as medidas dos três lados dados.

Para que seja garantida a existência do triângulo, seus lados devem satisfazer a seguinte condição: cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Dessa forma, considere um triângulo cujos lados medem a, b e c.

Então, só será possível a construção de um triângulo com lados a, b e c quando tivermos:

a < b + c
b < a + c
c < a + b

Note que, as três desigualdades devem ser verificadas!

Em alguns casos, ao invés de usarmos as três desigualdades acima, é mais útil, e válido de maneira equivalente, dizermos que:

|b – c| < a < b + c

EXERCÍCIO RESOLVIDOS

01. Deseja-se construir um triângulo ∆ABC de modo que AB =7, BC = 2x + 1e AC = 9, todas as medidas em centímetros. Dessa forma, determine todos os possíveis valores inteiros de x.

Resolução: 

Podemos aplicar a condição de existência de forma imediata!

Observe:

|9 – 7| < 2x + 1 < 9 + 7
|+ 2| < 2x + 1 < 16
2 < 2x + 1 < 16
2 – 1 < 2x < 16 – 1
1 < 2x < 15

1/2 < x < 15/2

Os valores inteiros que x pode assumir formam o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

OBSERVAÇÃO

Apenas com as medidas dos lados de um triângulo podemos classificá-lo quanto aos ângulos? A resposta é sim!
Veremos abaixo como isso é possível.

Num triângulo qualquer, basta elevarmos ao quadrado a maior medida do lado desse triângulo e compararmos com a soma do quadrado da medida dos outros dois lados.

Assim, é possível encontrar três resultados:

Se a² > b² + c² → Triângulo obtusângulo
Se a² < b² + c² → Triângulo acutângulo
Se a² = b² + c² → Triângulo retângulo

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

01. Dado um triângulo com as medidas dos lados abaixo indicados, classifique quanto aos ângulos:

a) 3 cm, 5 cm, 6 cm
b) 4 cm, 5 cm, 6 cm
c) 6 cm, 8 cm, 10 cm

Em cada um dos casos, basta elevar o maior lado ao quadrado e comparar com a soma dos quadrados das
medidas dos outros dois lados.

a) 6² > 5² + 3²
36 > 25 + 9
36 > 34 →Triângulo obtusângulo

b) 6² < 5² + 4²
36 < 25 + 16
36 < 41 →Triângulo acutângulo

c) 10² = 6² + 8²
100 = 36 + 64
100 =100 →Triângulo retângulo

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