Progressões aritméticas

INTRODUÇÃO

Na sequência (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26,…) podemos notar que, somando 4 a cada termo obtemos o termo seguinte:

2 + 4 = 6

6 + 4 = 10

10 + 4 = 14

14 + 4 = 18

18 + 4 = 22

22 + 4 = 26

Sequências com essa característica em que, sempre somando o mesmo valor se obtém os próximos termos, receberão a partir de agora um tratamento especial. Elas serão chamadas de progressões aritméticas, como definiremos a seguir.

DEFINIÇÃO

Chamamos progressão aritmética (P.A.) a toda sequência em que, somando uma mesma constante a cada termo, obtemos o termo seguinte. Esta constante é denominada razão da P.A., e será representada pela letra r.

Dessa forma, a sequência  (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26)  é uma P.A. de razão r = 4.

Temos, por definição, que uma P.A. é uma sequência , com o primeiro termo igual à a(a₁ = a), dada por uma lei de recorrência da forma:

a_n = a_{n – 1} + r, n > 1

Ou seja, é uma sequência da forma:

(a, a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r, …)

Exemplo:

Ou ainda, é possível escrever uma PA da seguinte forma:
Com 3 termos → (a – r, a, a + r)
Com 4 termos → (a – 2r, a – r, a + r, a + 2r) e assim por diante

CLASSIFICAÇÃO

Uma sequência de números reais cujos termos vão aumentando, isto é, onde cada termo é maior do que o anterior, é denominada sequência crescente. Se os termos vão diminuindo, isto é, cada termo é menor do que o anterior, a sequência é denominada decrescente. Quando todos os termos são iguais a sequência é denominada constante ou estacionária.

No caso das progressões aritméticas, verifica-se que uma P.A. de razão r é:

• Crescente, se r > 0.

• Decrescente, se r < 0.

• Constante, se r = 0.

Exemplo:

(0, 2, 4, 6, 8, 10, …) é uma P.A., com a ₁ = 0 e r = 2.

(20, 15, 10, 5, 0, –5, …) é uma P.A. com a ₁ = 20 e r = –5.

(10, 10, 10, 10, 10, …) é uma P.A. com a ₁ = 10 e r = 0.

FÓRMULA DO TERMO GERAL 

Escrevendo o valor de cada termo de uma P.A. em função do primeiro termo a₁ e da razão r:

(a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, a₁ + 3r, a₁ + 4r, …, a₁ + (n – 1) . r, …)

Vamos analisar o comportamento dos termos da sequência

a₂ = a₁ + 1 . r,

a₃ = a₁ + 2 . r,

a₄ = a₁ + 3 . r,

a₅ = a₁ + 4 . r

Note que, o coeficiente de r é sempre uma unidade menor do que o índice do termo geral à esquerda.

Dessa forma, temos

a_n = a₁ + (n–1) . r

Exemplo:

Em uma P.A. de primeiro termo a₁ = 10  e r = 2, o termo geral pode ser dado por:

a_n = 10 + (n – 1) . 2 = 10 + 2n – 2 = 2n + 8

Caso desejássemos encontrar o vigésimo termo, teríamos:

a₂₀ = 2 . 20 + 8 = 48

Classifica-se a P.A. acima como crescente (r > 0).

PROPRIEDADES DOS TERMOS

1ª PROPRIEDADE:

Uma sequência de três termos é uma P.A. se, e somente se, o termo central é igual a média aritmética entre os outros dois.

Isso é equivalente a escrever:

(a,b,c)  é  PA ↔ b = 

Demonstração:

(a, b, c)  é  P.A. ↔ b – a = r  e  c – b = r, em que  r é um número real.

b – a = c – b ↔  2b = a + c ↔ b = 

Como queríamos demonstrar.

Exemplo:

Considere a sequência  (10, 15, 20)  é uma P.A. de razão  r = 5.

Note que 

Observação

Essa é uma importante propriedade que pode ser estendida. Em geral, uma sequência qualquer será uma P.A. se, e somente se, todo termo que possui antecessor e sucessor, for média aritmética entre seu antecessor e o seu sucessor.

Exemplo:

Considere a P.A.  (4, 6, 8, 10, 12), de razão 2.

2ª PROPRIEDADE:

Sejam a_m, a_n, a_j  e  a_k  quatro termos quaisquer de uma P.A. Dessa forma:

a_m + a_n = a_j + a_k   se, e somente se, m + n = j + k.

Demonstração:

De fato, seja r a razão da P.A.

a_m + a_n = a_j + a_k

a₁ + (m – 1) . r + a₁ + (n – 1) . r = a₁ + (j – 1) . r + a₁ + (k – 1) . r

(m – 1) . r + (n – 1) . r = (j – 1) . r + (k – 1) . r

mr – r + nr – r = jr – r + kr – r

mr + nr – 2r = jr + kr – 2r

m + n – 2 = j + k – 2

m + n = j + k

Como queríamos demonstrar.

Exemplo: Considere a P.A.:

(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ….)

Note que a₁ + a₅ = 1 + 13 = 14 e a₂ + a₄= 4 + 10 = 14, sendo assim,  a₁ + a₅ = a₂ + a₄

Da mesma forma,  a₃ + a₈ = 7 + 22 = 29  e a₅ + a₆ = 13 + 16 = 29, sendo assim,  a₃ + a₈ = a₅ + a₆

OBSERVAÇÃO

A partir das propriedades 1 e 2, obtemos dois resultados muito importantes relativos as Progressões Aritméticas.

1º: Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

2º: Em toda P.A. finita, com número ímpar de termos, o termo central é igual a média aritmética dos extremos (ou de dois termos equidistantes dos extremos).

Exemplo:

Considere a P.A. a seguir, que possui uma quantidade ímpar de termos.

Note que, a soma dos termos equidistantes dos extremos é sempre 80.

10 + 70 = 80,   20 + 60 = 80, 30 + 50 = 80. E em todos os casos, dividindo por 2, encontraremos 40, que é o termo central.

UM POUCO DE HISTÓRIA

Para manter seus alunos ocupados um professor mandou que somassem todos os números de um a cem. Ele esperava que eles passassem bastante tempo buscando resolver essa tarefa. Em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050.

Como ele fez a conta tão rápido?

Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101.
Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101.
Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101.
Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050.

E dessa forma, Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas ainda criança. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É considerado por muitos, o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.

SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS

Dada uma sequência qualquer ( a¹ , a² , a³ , a ⁿ⁻¹, aⁿ,…) indicamos por Sⁿ a soma dos primeiros termos:
Sⁿ: a¹ + a² + a³ + a⁴ + … + a ⁿ⁻¹ + a ⁿ
Em uma PA a soma dos n primeiros termos é dado por:
Sⁿ = ( a¹ + a² ) . n / 2

Demonstração: 

Vamos escrever a soma Sⁿ duas vezes, da seguinte maneira:

Note que, em cada expressão entre parênteses temos a soma de dois termos equidistantes dos extremos. Mas, sabemos que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Substituindo em cada parcela, temos:

Como queríamos demonstrar.
Exemplos:

a) Calcule a soma dos 40 primeiros termos da PA (2, 5, 8, …).

Resolução:

Temos que a1 = 2 e r = 3.

Vamos agora, encontrar o quadragésimo termo da PA.

a40 = a1 + (40 – 1) · r = 2 + 39 · 3 = 119

Podemos agora encontrar a soma dos 40 primeiros termos da PA:

S40 = (a1 + a40) . 40/2 = (2 +119) . 40/2 = 2420

b) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PA (1, 5, 9, 13, …).

Solução:

Temos que a1 = 1 e r = 4.

Vamos agora, encontrar o décimo termo da PA.

a10 = a1 + (10 – 1)·r = 1 + 9·4 = 1 + 36 = 37

Podemos agora encontrar a soma dos 10 primeiros termos da PA:

S10 = (a1 + a10) . n/2 = (1 + 37) . 10/2 = 38.5 = 190

c) Calcule a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 1 e 1000.

Solução:

Devemos descobrir quantos são os múltiplos de onze nessa sequência e para isso devemos usar o último termo com essa propriedade.

Observe que entre 1 e 1000 temos diversos múltiplos de 11, sendo o primeiro igual ao próprio 11 e o último 990. Dessa forma devemos descobrir que posição o número 990 ocupa na sequência abaixo:

11, 22, 33, …, 990
Note que trata-se de uma PA com razão igual a 11. Aplicando o termo geral, temos:

an= a1 + (n – 1)·r
990 = 11 + (n – 1)·11
990 = 11 + 11n – 11
990 = 11n
n = 90

Dessa forma, sabemos que estamos somando 90 termos e nos resta apenas aplicar a fórmula da soma:

S90 = (a1 + a90) . 90 /2
S90 = (11 + 990). 90/2 = 1001.45 = 45045