Estatística – Medidas de Dispersão
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
Medir a dispersão é analisar o quanto os valores de um conjunto se afastam de uma regularidade. É verificar o quanto os elementos de um conjunto respeitam um padrão. Veremos a seguir os conceitos de variância e desvio padrão, que são medidas de dispersão, que indicam a regularidade de um conjunto de dados, em função da média aritmética.
DESVIO MÉDIO
Se é a média aritmética de uma amostra de números x1, x2, … , xn, chama-se desvio absoluto médio o número:
Exercício resolvido
01. A tabela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$, nos 12 meses de 2013.
a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) dessa série.
b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro de 2013 até janeiro de 2014) passou a ter mediana de 18 bilhões de US$, e um número inteiro de bilhões de US$ como média mensal. Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.
Dado: Desvio Médio = , sendo
a média aritmética.
Resolução:
A) A média:
A moda:
São os valores: 16, 17, 18 e 22, pois estes valores aparecem duas vezes cada na série apresentada acima
A mediana:
Colocando os números em ordem crescente, temos:
(16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24)
Logo,
Maior taxa de crescimento:
Ocorreram aumentos entre:
Portanto, a maior taxa mensal de crescimento ocorreu entre Março e Abril.
B) A média:
A mediana:
Em ordem crescente, e sabendo que a mediana é 18, temos que em Jan de 2014 o valor é menor ou igual a 18. Portanto, considerando estes fatos, temos que x vale 13, pois dará um número divisível por 13.
Observe:
(13, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24) que nos dá mediana 18.
E média mensal:
Cálculo do Desvio Médio = /> , sendo
a média aritmética.
VARIÂNCIA
Considere uma amostra representada por {x1, x2, …., xn} de n observações numéricas. A variância de uma população (Var(x)) é definida por:
Onde é a média aritmética da distribuição.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. Três pessoas irão disputar um emprego em uma empresa multinacional. Após a entrevista, onde os três foram bem, a empresa decidiu colocá-los para fazer uma prova sobre assuntos relativos ao trabalho que executarão. Cada candidato fará cinco provas. Ao final das cinco provas, os três candidatos tiveram a mesma média, e dessa forma a empresa optou por selecionar o candidato com uma maior regularidade de conhecimento sobre os assuntos, contratando então o candidato com a menor variância.
As notas dos candidatos foram:
Candidato 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0.
Candidato 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0.
Candidato 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.
Note que as médias dos candidatos são
Calculemos a variância dos Grupos 1, 2 e 3.
Note que o candidato 1, obteve todas as notas são iguais e assim, a variância é igual a 0. Entre os candidatos 2 e 3, não temos todas notas iguais. Note que Var2(x) < Var3(x), concluímos que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3. Como o candidato 1 obteve a menor variância, ele será selecionado para ocupar a vaga na empresa.
DESVIO PADRÃO
O desvio padrão é outra forma de analisar a regularidade de um conjunto de valores.
O desvio padrão de uma população é dado pela raiz quadrada da variância. Logo temos:
Exemplo:
Voltemos para o exemplo anterior onde calculamos a variância de cada um dos três candidatos. Calculemos agora o desvio padrão das amostras das notas dos três candidatos.
Grupo 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0.
Grupo 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0.
Grupo 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.
No candidato 1, a variância que encontramos foi zero. Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, segue que o desvio padrão também é zero. Além disso, todos os valores do candidato 1 são iguais a 6. Sempre que todos os valores forem iguais o desvio padrão será zero.
No candidato 2, a variância encontrada foi Var2(x) = 0,4. Logo, o desvio padrão será .
No candidato 3, a variância encontrada foi Var3(x) = 2. Logo, o desvio padrão será .
Note que, . Concluímos então que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3.
OBSERVAÇÃO
Quanto mais uniforme forem os valores, mais próximo de zero estará o desvio padrão.
Quando todos valores são iguais o desvio padrão é zero. Assim a amostra é perfeitamente uniforme.
Quando estamos interessados em saber qual conjunto de valores possui uma maior regularidade podemos usar tanto a variância, como o desvio padrão.
O desvio padrão é expresso na mesma unidade de medida das variáveis do conjunto.
Se estivermos interessados em saber com mais precisão o quanto cada conjunto se afastou de uma uniformidade, é melhor calcular o desvio padrão, já que ele se encontra na mesma unidade de medida dos dados apresentados.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (EPCAR (AFA) ) Um cursinho de inglês avaliou uma turma completa sendo que parte dos alunos fez a avaliação A, cujo resultado está indicado no gráfico abaixo.
Os demais alunos fizeram a avaliação B e todos tiveram 4 acertos. Assim, o desvio padrão obtido a partir do gráfico acima ficou reduzido à metade ao ser apurado o resultado da turma inteira.
Essa turma do cursinho de inglês tem
a) mais de 23 alunos.
b) menos de 20 alunos.
c) 21 alunos.
d) 22 alunos.
Resolução:
1ª Solução:
Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.
Logo, sabendo que todos os alunos tiveram 4 acertos no exame B segue que a média da turma, x, também é 4.
Se Dpᴬ é o desvio padrão no exame A, então
Chamando de n o número total de alunos, e sabendo que o desvio padrão da turma, DpT , é igual à metade do desvio padrão no exame A, temos
2ª Solução:
Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.
Daí, segue que o desvio padrão da turma é igual a 1/2 e, portanto, se n é o número de alunos da turma, então
(1/2)² = 1/n . (16n + 6 – (4n)²/n) ⇔ 1/4 = 6/n ⇔ n = 24
3ª Solução:
Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.
O desvio padrão no exame A é dado por
Logo, o desvio padrão da turma é igual a DpT = 1/2.
Por outro lado, sabendo que todos os alunos que fizeram o exame B tiveram 4 acertos, é imediato que a média no exame B foi Xᴮ = 4, e o desvio padrão Dpᴮ = 0.
Em consequência, sendo nᴮ o número de alunos que fizeram o exame B e Xᴬ = Xᴮ = X, temos
