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Progressão Geométrica – Somas

Progressão Geométrica – Somas

Aprenda sobre a Somar em Progressão Geométrica. 

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA

Em uma P.G. não constante (a¹ , a², a³,…an) de razão q ≠ 1, a soma dos n primeiros termos é dada por:

Demonstração:

Escrevendo a soma dos n primeiros termos, temos:

Como , substituindo em cada parcela, com o devido cuidado com cada um de seus índices, teremos:

Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, teremos

Subtraindo membro a membro, as igualdades (I) e (II), teremos


Como , dividindo ambos os membros da última igualdade por , obtemos:

Como queríamos demonstrar.

Observação:
Quando temos a razão q = 1, temos uma P.G. constante. Nesse caso, todos os termos são iguais ao primeiro.
Assim, a P.G. será . Dessa forma, a soma dos  n  primeiros termos será dada por  

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. Calcular a soma dos primeiros termos da P.G.

Resolução:

Temos: 

Podemos encontrar a soma dos primeiros termos da P.G., pela fórmula:


02.  Calcule a soma dos primeiros termos da sequência

Resolução:
Primeiramente é importante notar que essa sequência pode ser vista como uma P.A. de razão r=0, ou ser vista como uma P.G. de razão .

De qualquer forma, como acabamos de comentar anteriormente, teremos:



Observação:
Note que, não precisamos de fórmula para resolver o exercício anterior. Basta notar que na sequência todos os termos são iguais a . Como queremos a soma dos primeiros termos, queremos .

03.  Os frutos de uma árvore apodrecem segundo uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão 3, ou seja, no primeiro dia apodrece um fruto, no segundo dia 3, no terceiro 9 e assim sucessivamente. Quantos frutos apodrecerão ao final de 7 dias? 

Resolução:

Temos a PG (1, 3, 9, …, a⁷ ), com a¹ = 1 e q=3.
Podemos encontrar a soma dos 7 primeiros termos da PG, pela fórmula:

Sn= a¹. (qn – 1) / q – 1

S⁷ = 1 . (3⁷ – 1 ) / 3 – 1 = 1093

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Em uma P.G. infinita, de razão q, de modo que –1 < q < 1, a soma de seus termos será

Demonstração:

Escrevendo a soma infinita (S∞) de uma PG (a1, a2, a3, a4…) de razão q, com -1< q < 1, temos:
S∞ = a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q3 +… (I)

Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, teremos:

q · S∞ = a1 q + a1 q² + a1 q3 + a1 q4 +… (II)

Subtraindo, membro a membro, as igualdades (I) e (II):
S∞ – q · S∞ = a1

Agora fatorando o primeiro membro, pode-se concluir que:
S∞ (1 – q) = a1

S∞ = a¹ / 1 -q

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