Progressão Geométrica – Somas
Aprenda sobre a Somar em Progressão Geométrica.
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA
Em uma P.G. não constante (a¹ , a², a³,…an) de razão q ≠ 1, a soma dos n primeiros termos é dada por:
Demonstração:
Escrevendo a soma dos n primeiros termos, temos:
Como , substituindo em cada parcela, com o devido cuidado com cada um de seus índices, teremos:
Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, teremos
Subtraindo membro a membro, as igualdades (I) e (II), teremos
Como , dividindo ambos os membros da última igualdade por , obtemos:
Como queríamos demonstrar.
Observação:
Quando temos a razão q = 1, temos uma P.G. constante. Nesse caso, todos os termos são iguais ao primeiro.
Assim, a P.G. será . Dessa forma, a soma dos n primeiros termos será dada por
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Calcular a soma dos primeiros termos da P.G.
Resolução:
Temos:
Podemos encontrar a soma dos primeiros termos da P.G., pela fórmula:
02. Calcule a soma dos primeiros termos da sequência
Resolução:
Primeiramente é importante notar que essa sequência pode ser vista como uma P.A. de razão , ou ser vista como uma P.G. de razão .
De qualquer forma, como acabamos de comentar anteriormente, teremos:
Observação:
Note que, não precisamos de fórmula para resolver o exercício anterior. Basta notar que na sequência todos os termos são iguais a . Como queremos a soma dos primeiros termos, queremos .
03. Os frutos de uma árvore apodrecem segundo uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão 3, ou seja, no primeiro dia apodrece um fruto, no segundo dia 3, no terceiro 9 e assim sucessivamente. Quantos frutos apodrecerão ao final de 7 dias?
Resolução:
Temos a PG (1, 3, 9, …, a⁷ ), com a¹ = 1 e q=3.
Podemos encontrar a soma dos 7 primeiros termos da PG, pela fórmula:
Sn= a¹. (qn – 1) / q – 1
S⁷ = 1 . (3⁷ – 1 ) / 3 – 1 = 1093
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
Em uma P.G. infinita, de razão q, de modo que –1 < q < 1, a soma de seus termos será
Demonstração:
Escrevendo a soma infinita (S∞) de uma PG (a1, a2, a3, a4…) de razão q, com -1< q < 1, temos:
S∞ = a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q3 +… (I)
Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, teremos:
q · S∞ = a1 q + a1 q² + a1 q3 + a1 q4 +… (II)
Subtraindo, membro a membro, as igualdades (I) e (II):
S∞ – q · S∞ = a1
Agora fatorando o primeiro membro, pode-se concluir que:
S∞ (1 – q) = a1
S∞ = a¹ / 1 -q