PROGRESSÃO ARITMÉTICA – SOMA DE N TERMOS
Aprenda sobre a Soma dos N Termos.
Um pouco de história
Para manter seus alunos ocupados um professor mandou que somassem todos os números de um a cem. Ele esperava que eles passassem bastante tempo buscando resolver essa tarefa. Em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050.
Como ele fez a conta tão rápido?
Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101.
Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101.
Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101.
Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050.
E dessa forma, Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas ainda criança. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É considerado por muitos, o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.
SOMA DOS N TERMOS
Dada uma sequência qualquer (a1, a2, a3, …, an–1, an, …), indicamos por Sn a soma dos n primeiros termos:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an–1 + an
Em uma PA a soma dos n primeiros termos é dada por:
Demonstração:
Vamos escrever a soma Sn duas vezes, da seguinte maneira:
Note que, em cada expressão entre parênteses temos a soma de dois termos equidistantes dos extremos. Mas, sabemos que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Substituindo em cada parcela, temos:
Como queríamos demonstrar.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA – SOMA DE N TERMOS
Exemplo:
A) Calcular a soma dos 40 primeiros termos da PA (2, 5, 8, …)
Solução:
Temos que a1 = 2 e r = 3.
Vamos agora, encontrar o quadragésimo termo da PA.
a40 = a1 + (40 – 1) . r = 2 + 39 . 3 = 119
Podemos agora encontrar a soma dos 40 primeiros termos da PA:
B) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PA (1, 5, 9, 13, …).
Solução:
Temos que a1 = 1 e r = 4.
Vamos agora, encontrar o décimo termo da PA.
Podemos agora encontrar a soma dos 10 primeiros termos da PA:
C) Calcule a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 1 e 1000.
Solução:
Devemos descobrir quantos são os múltiplos de onze nessa sequência e para isso devemos usar o último termo com essa propriedade.
Observe que entre 1 e 1000 temos diversos múltiplos de 11, sendo o primeiro igual ao próprio 11 e o último 990. Dessa forma devemos descobrir que posição o número 990 ocupa na sequência abaixo:
11, 22, 33, …, 990
Note que trata-se de uma PA com razão igual a 11. Aplicando o termo geral, temos:
an= a1 + (n – 1).r
990 = 11 + (n – 1).11
990 = 11 + 11n – 11
990 = 11n
n = 90
Dessa forma, sabemos que estamos somando 90 termos e nos resta apenas aplicar a fórmula da soma:
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