Sistemas Lineares
Aprenda mais sobre os Sistemas Lineares.
SISTEMAS LINEARES
São sistemas lineares o conjunto de m equações lineares e n incógnitas, do tipo:
{ a¹¹X¹ + a¹²X² + … + aⁿXⁿ= b¹
{a²¹X¹ + a²²X² + … + a²ⁿXⁿ = b²
{ ……………………………………………………….
{aᵐ¹X¹ + aᵐ²X² + … + aᵐⁿXⁿ = bⁿ
onde aᵐⁿ e bᵐ são coeficientes de X¹, X², …, Xⁿ são incógnitas.
• Sistemas lineares 2 x 2: são sistemas com duas equações lineares e duas variáveis.
• Sistemas lineares 3 x 3: são sistemas com três equações lineares e três variáveis.
CLASSIFICAÇÃO
Um sistema pode ser classificado em:
• Possível (compatível) e determinado – SPD: quando o seu conjunto verdade é unitário.
• Possível (compatível) e indeterminado – SPI: quando o seu conjunto verdade é infinito.
• Impossível (incompatível) – SI: quando o seu conjunto verdade é vazio.
Exemplo 1:
{ x + y = 3
{ x + y = 1
2x = 4 2 + y = 3
x = 2 y = 1
S = {2, 1}
O sistema acima apresenta solução única, logo, é chamado de sistema possível e determinado (SPD).
Exemplo 2:
{ x – 2y = 5
{ 2x – 4y = 7
Resolvendo pelo método da adição, temos:
{ x – 2y = 5 (-2) → { -2x – 4y = -10
{ 2x – 4y = 7 { 2x – 4y = 7
0x + 0y = -3
Observe que, para qualquer valor de x e y, a sentença obtida nunca será satisfeita, pois o primeiro membro sempre será 0 ≠ –3. Assim, o sistema não admite solução e é classificado como SI (sistema impossível).
Exemplo 3:
{ 2x + y = 5
{ 4x + 2y = 10
Perceba que a segunda equação é o dobro da primeira, assim as duas equações serão iguais à 2x + y = 5. E essa equação admite mais de uma solução: (2, 1); (4, -3); (0, 5); etc. Assim o sistema admite infinitas soluções e é classificado como SPI (sistema possível e indeterminado).
FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR
Dado o sistema:
{ a¹X + b¹y + c¹z = K¹
{ a²X + b²y + c²z = K²
{ a³X + b³y + c³z = K³
[a¹ b¹ c¹] [x] [k¹]
[a² b² c²] [y] = [k²] ← matriz dos termos independentes
[a³ b³ c³] [z] [k³]
↑ ⇱
matriz de coeficientes ⇱ matriz de incógnitas
Exemplo 1:
{ 2x + 5y = 12
{ x – 3y = -5
[ 2 5] . [x] = [12]
[1 -3] [y] [-5]
Exemplo 2:
{ 3x + 2y – z = 4
{ x + 3y + z = 1
{ 2x + 2y – 2z = 2
[3 2 -1] [x] [4]
[1 3 1] . [y] = [1]
[2 2 2] [z] [2]
Exemplo 3:
{ x + y = 4
{ 3x – y = 1
{ 2x – y = 0
[1 1] [4]
[3 -1] . [x] = [1]
[2 -1] [y] [0]
OBSERVAÇÃO
É chamado de matriz incompleta a matriz formada somente pelos coeficientes do sistema e de matriz completa a matriz formada pelos coeficientes e uma coluna com os termos independentes.
Observe o sistema abaixo:
{ 2x + y = 3
{ x – y = 4
a matriz incompleta é [2 1]
[1 -1]
a matriz completa é [2 1 3]
[1 -1 4]
EXERCÍCIO RESOLVIDOS
01. (UPE-SSA 2) Márcia e Marta juntas “pesam” 115 kg; Marta e Mônica “pesam” juntas 113 kg; e Márcia e Mônica “pesam” juntas 108 kg. Qual é a soma dos “pesos” de Márcia, Marta e Mônica?
a) 205 kg.
b) 195 kg.
c) 187 kg.
d) 175 kg.
e) 168 kg.
Resolução: E
Considerando que:
Márcia “pesa” x kg, Marta “pesa” y kg, e Mônica “pesa” z kg, temos o seguinte sistema:
{ x + y = 115
{ y + z = 113
{ x + z = 108
Somando as equações, obtemos:
2x + 2y + 2z = 336
Portanto, x + y + z = 168 kg
02. (EFOMM) Na Escola de Marinha Mercante, há alunos de ambos os sexos (130 mulheres e 370 homens), divididos entre os Cursos Básicos, de Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de Máquinas, 20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 alunos no total e o Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres. Quantas mulheres há no Curso de Náutica?
a) 50
b) 55
c) 60
d) 65
e) 70
Resolução: C
De acordo com o texto do problema e considerando que cada aluno não poderá fazer dois cursos ao mesmo tempo, temos:
Temos então o seguinte sistema linear:
{ x + y = 110
{-x + y = 10
Somando as equações, temos:
2y = 120 ⇒ y = 60
Portanto, o número de mulheres no curso de Náutica é 60.
03. (FAMEMA) Uma pessoa comprou 2 pacotes de algodão, 5 rolos de gaze e 3 rolos de esparadrapo. Na farmácia onde realizou a compra, o preço de um pacote de algodão mais um rolo de gaze e mais um rolo de esparadrapo é R$ 16,00. Um rolo de esparadrapo custa R$ 2,00 a menos que um pacote de algodão e R$ 1,00 a mais que um rolo de gaze. Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, o valor do troco recebido foi
a) R$ 0,50
b) R$ 1,00
c) R$ 1,50
d) R$ 2,50
e) R$ 2,00
Resolução: B
Considerando que x é o preço do pacote de algodão, y o preço do rolo de gaze e z o preço do rolo de esparadrapo, temos o seguinte sistema:
{ x + y + z = 16 { x + y + z = 16
{ z = x – 2 ⇔ { x = z + 2
{ z = y + 1 { y = z – 1
Resolvendo o sistema por substituição, temos a seguinte equação:
z + 2 + z – 1 + z = 16 ⇒ 3z = 15 ⇒ z = 5
Portanto, temos:
z = 5, x = 7 e y = 4.
O valor do troco será dado por:
50 – (2x + 5y + 4z) = 50 – (2 . 7 + 5 . 4 + 3 . 5) = 1,00
O troco recebido foi de R$ 1,00.
04. (FAC. ALBERT EINSTEIN – MED) Saulo sacou R$ 75,00 do caixa eletrônico de um Banco num dia em que este caixa emitia apenas cédulas de R$ 5,00 e R$10,00. De quantos modos poderiam ter sido distribuídas as cédulas que Saulo recebeu?
a) 6
b) 7
c) 8
d) Mais do que 8.
Resolução: C
Considerando que foram retiradas x notas de R$ 5,00 e y notas de R$ 10,00, temos a seguinte equação:
5x + 10y = 75
Ou seja:
x + 2y = 15
x = 15 – 2y
O que nos leva a concluir que x poderá ser qualquer inteiro de 0 (zero) até 7, para que x seja um número inteiro não negativo. Temos, portanto, 8 possibilidades para se sacar o dinheiro utilizando apenas notas de R$ 5 e de R$ 10.
05. (PUC-SP) Dizem que o autor do poema seguinte não foi outro senão o próprio geômetra Euclides da Alexandria – nascido por voltado ano 330 a.C. -, o que prova que também os grandes matemáticos se dedicam, ocasionalmente, a pequenos problemas, sem baixar a sua dignidade.
Asno e mulo vinham pela estrada carregados de sacos.
Sob o peso dos fardos, o asno gemia e resmungava, inconformado.
Aquele o notou, e assim falou ao apoquentado companheiro:
“Dize-me, velhinho, que choras e lamentas qual inocente rapariga,
O dobro do que tu levas carregaria eu, se me desses um volume;
Se me tomasses um, ah!, então sim, conduziríamos ambos a mesma carga.”
Tu, geômetra perito, dize-me quantos fardos transportavam?
Fonte: A Magia dos Números; Paul Karlson – Coleção Tapete Mágico XXXI – Editora Globo, RJ – 1961
Com base nas informações dadas pelo mulo, é correto afirmar que, o produto das quantidades de sacos que cada um carregava é um número
a) primo.
b) múltiplo de 7.
c) divisível por 6.
d) quadrado perfeito.
Resolução: B
Considerando que o asno carregava x volumes e mulo carregava y volumes, podemos escrever, partindo das observações do mulo, o seguinte sistema.
{ y + 1 = 2 . (x – 1) ⇒ { y = 2x – 3 ⇒
{ y – 1 = x + 1 { y = x + 2
⇒ 2x – 3 = x + 2 ⇒ x = 5 e y = 7
Portanto, o produto das quantidades de sacos é 35 (múltiplo de 7).
06. (FAC. ALBERT EINSTEIN – MED) Juntas, Clara e Josefina realizaram certo trabalho, pelo qual Clara recebeu, a cada hora, R$ 8,00 a mais do que Josefina. Se, pelas 55 horas que ambas trabalharam, receberam o total de R$ 1760,00, a parte dessa quantia que coube a Clara foi
a) R$ 660,00
b) R$ 770,00
c) R$ 990,00
d) R$ 1100,00
Resolução: D
Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se:
Valor recebido por Clara C
Valor recebido por Josefina J
C = J + 8
55J + ( J + 8) . 55 = 1760 →
→ 55J + 55J + 440 = 1760 → 110J = 1320 →
→ J = 12
C = 12 + 8 → C = 20
20 . 55 horas = R$ 1100,00
07. (ESPM) Bia é 6 anos mais velha que Carla. Há 2 anos, a idade de Bia era o triplo da idade de Ana e daqui a 1 ano será igual à soma das idades de Ana e Carla. Podemos afirmar que:
a) Ana tem 7 anos.
b) Bia tem 12 anos.
c) Ana é mais velha que Carla.
d) Carla tem 6 anos.
e) Ana e Carla têm a mesma idade.
Resolução: E
Calculando:
⇒ { C = 3A – 10
{ A = 5
⇒ C = 5 → B = 11
08. (PUC-MG) Cada grama do sal P custa R$ 1,20 e cada grama do sal Q, R$ 1,15. Cada quilo de certa mistura desses dois sais, feita por um laboratório, custa R$ 1.179,00. Com base nesses dados, pode-se afirmar que a quantidade do sal P, utilizada para fazer um quilograma dessa mistura, é:
a) 420 g
b) 480 g
c) 520 g
d) 580 g
Resolução: D
Calculando:
{ 1200 . P + 1150 . Q = 1179
{ P + Q = 1
1200P + 1150 . ( 1- P ) = 1179
50P = 29 → P = 0,58 KG = 580g
