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Geometria Espacial – Cilindros

Geometria Espacial – Cilindros

Aprenda mais sobre Geometria Espacial. 

CILINDROS 

Em diversas situações do cotidiano, observamos figuras cilíndricas como uma lata de refrigerante, uma cesta de lixo,
uma vela, um reservatório, etc. Estudaremos então quais são as características e propriedades dessas formas geométricas.

 

CILINDROS CIRCULARES

Considere dois planos paralelos a e β, uma reta s secante a esses planos e um circulo C de centro O contido em a. Consideremos agora, todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao circulo C e o outro extremo pertencente a β. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular.

ELEMENTOS DE UM CILINDRO

Observando o cilindro circular abaixo, nomeamos alguns elementos:

• Bases: Círculos de raio r e centro O e O’.

• Eixo: reta que contém os centros O e O’;

• Raio da base (r): raio do círculo de centro O;

• Altura (h): distância entre as bases do cilindro;

• Geratriz: todo segmento de reta paralelo ao eixo OO’ que tem extremidades pertencentes às circunferências das bases. Ex: AA’.

CILINDRO CIRCULAR RETO OU CILINDRO DE REVOLUÇÃO

Se o cilindro circular possui o eixo perpendicular à base, o chamamos de cilindro circular reto. Observe que nesse caso, a medida da geratriz é igual à altura. Caso contrário, o chamamos de cilindro circular oblíquo.

O cilindro circular reto também é conhecido como cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução, ou rotação, de 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.

Planificação do cilindro circular reto

Para um melhor entendimento, corte as bases do cilindro, e em seguida, imagine a superfície lateral envolvida por um rótulo. Corte esse rótulo por uma geratriz e o desenrole, como sugere a figura abaixo.

Assim, temos que a superfície lateral de um cilindro circular reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de um retângulo de base 2pr e altura h, com dois círculos de raio r.

ÁREAS LATERAL E TOTAL

A área lateral de um cilindro qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cilindro. Portanto, no cilindro circular reto de altura h e raio da base r, a área lateral é a área do retângulo obtido na planificação. Assim,

Já a área total, obtemos somando a área lateral com a área das duas bases, ou seja,

Exercício Resolvido

01. A área lateral de um cilindro circular reto cuja altura é igual ao diâmetro é 100p cm2. Calcule a área total desse cilindro.

Resolução:

SEÇÕES NUM CILINDRO

Temos duas seções muito importantes, chamadas de seção transversal e seção meridiana.

Chamamos seção transversal do cilindro qualquer intersecção não vazia do cilindro com um plano paralelo às suas bases.

Cabe ressaltar que a essa seção formada é um círculo congruente às bases.

Outra seção muito importante é a chamada seção meridiana, que é a intersecção do cilindro com um plano que passa pelos centros de suas bases.

Podemos ainda, calcular a área da seção meridiana, pois num cilindro reto será um retângulo de base 2R e altura h, logo:

Aseção meridiana = 2R . h

CILINDRO EQUILÁTERO

Um caso particular de cilindros é o chamado cilindro equilátero, que é todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas, em outras palavras, a altura é igual ao diâmetro (h = 2r).

VOLUME DO CILINDRO

Considere um cilindro de altura h e base de área A contida em um plano horizontal. Imaginemos um paralelepípedo retângulo de altura h, com base de área A contida no mesmo plano. Se um outro plano horizontal os secciona formando áreas A1 e A2, então temos que A1 = A = A2 e pelo princípio de Cavalieri, os dois têm mesmo volume. Logo, o volume do cilindro é também o produto da área da base pela altura.

Portanto o volume do cilindro é:

Exercício resolvido

02. Calcule o volume de um cilindro equilátero cuja área da secção meridiana vale 36 cm2.

Resolução:

Determinando a seção meridiana, obtemos:

Assim, a altura do cilindro é  e seu volume .

03. Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:

Resolução:

O volume do objeto submerso é igual ao volume do líquido deslocado. Dessa forma, o volume do objeto é igual ao volume do cilindro com raio da base 10 cm e altura 10 cm.

V = πr2h

V = π.102.10 = 1000π cm3

TRONCO DE CILINDRO 

Considere um cilindro circular e um plano que o intersecta obliquamente em todas as geratrizes. Este plano o separa em dois sólidos chamados de troncos de cilindro circular.

Consideremos um tronco de cilindro circular reto cujo raio da base é r, a geratriz maior é G e a menor é g.

Prolongando as geratrizes de modo a obter um cilindro reto de altura g + G, temos:

Observemos que este cilindro é composto por dois troncos congruentes, logo o volume do tronco de cilindro é a metade do volume do cilindro.

Exercício resolvido

04. Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6 cm é secionado por um plano oblíquo a ela, que determina, no cilindro, alturas entre 2 cm e 8 cm, como indicado na figura. Determine o volume resultante.

Resolução:

Dobrando o tronco de cilindro, obtemos:

Logo, 2V = p . 32 . (8 + 2)/2 → V= 45 π cm³ 

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