Geometria Espacial – Cilindros

CILINDROS 

Em diversas situações do cotidiano, observamos figuras cilíndricas como uma lata de refrigerante, uma cesta de lixo,
uma vela, um reservatório, etc. Estudaremos então quais são as características e propriedades dessas formas geométricas.

CILINDROS CIRCULARES

Considere dois planos paralelos a e β, uma reta s secante a esses planos e um circulo C de centro O contido em a. Consideremos agora, todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao circulo C e o outro extremo pertencente a β. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular.

ELEMENTOS DE UM CILINDRO

Observando o cilindro circular abaixo, nomeamos alguns elementos:

• Bases: Círculos de raio r e centro O e O’.

• Eixo: reta que contém os centros O e O’;

• Raio da base (r): raio do círculo de centro O;

• Altura (h): distância entre as bases do cilindro;

• Geratriz: todo segmento de reta paralelo ao eixo OO’ que tem extremidades pertencentes às circunferências das bases. Ex: AA’.

CILINDRO CIRCULAR RETO OU CILINDRO DE REVOLUÇÃO

Se o cilindro circular possui o eixo perpendicular à base, o chamamos de cilindro circular reto. Observe que nesse caso, a medida da geratriz é igual à altura. Caso contrário, o chamamos de cilindro circular oblíquo.

O cilindro circular reto também é conhecido como cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução, ou rotação, de 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.

Planificação do cilindro circular reto

Para um melhor entendimento, corte as bases do cilindro, e em seguida, imagine a superfície lateral envolvida por um rótulo. Corte esse rótulo por uma geratriz e o desenrole, como sugere a figura abaixo.

Assim, temos que a superfície lateral de um cilindro circular reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de um retângulo de base 2pr e altura h, com dois círculos de raio r.

ÁREAS LATERAL E TOTAL

A área lateral de um cilindro qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cilindro. Portanto, no cilindro circular reto de altura h e raio da base r, a área lateral é a área do retângulo obtido na planificação. Assim,

Já a área total, obtemos somando a área lateral com a área das duas bases, ou seja,

Exercício Resolvido

01. A área lateral de um cilindro circular reto cuja altura é igual ao diâmetro é 100p cm². Calcule a área total desse cilindro.

Resolução:

SEÇÕES NUM CILINDRO

Temos duas seções muito importantes, chamadas de seção transversal e seção meridiana.

Chamamos seção transversal do cilindro qualquer intersecção não vazia do cilindro com um plano paralelo às suas bases.

Cabe ressaltar que a essa seção formada é um círculo congruente às bases.

Outra seção muito importante é a chamada seção meridiana, que é a intersecção do cilindro com um plano que passa pelos centros de suas bases.

Podemos ainda, calcular a área da seção meridiana, pois num cilindro reto será um retângulo de base 2R e altura h, logo:

A_{seção meridiana} = 2R . h

CILINDRO EQUILÁTERO

Um caso particular de cilindros é o chamado cilindro equilátero, que é todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas, em outras palavras, a altura é igual ao diâmetro (h = 2r).

VOLUME DO CILINDRO

Considere um cilindro de altura h e base de área A contida em um plano horizontal. Imaginemos um paralelepípedo retângulo de altura h, com base de área A contida no mesmo plano. Se um outro plano horizontal os secciona formando áreas A₁ e A₂, então temos que A₁ = A = A₂ e pelo princípio de Cavalieri, os dois têm mesmo volume. Logo, o volume do cilindro é também o produto da área da base pela altura.

Portanto o volume do cilindro é:

Exercício resolvido

02. Calcule o volume de um cilindro equilátero cuja área da secção meridiana vale 36 cm².

Resolução:

Determinando a seção meridiana, obtemos:

Assim, a altura do cilindro é  e seu volume .

03. Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:

Resolução:

O volume do objeto submerso é igual ao volume do líquido deslocado. Dessa forma, o volume do objeto é igual ao volume do cilindro com raio da base 10 cm e altura 10 cm.

V = πr²h

V = π.10².10 = 1000π cm³

TRONCO DE CILINDRO 

Considere um cilindro circular e um plano que o intersecta obliquamente em todas as geratrizes. Este plano o separa em dois sólidos chamados de troncos de cilindro circular.

Consideremos um tronco de cilindro circular reto cujo raio da base é r, a geratriz maior é G e a menor é g.

Prolongando as geratrizes de modo a obter um cilindro reto de altura g + G, temos:

Observemos que este cilindro é composto por dois troncos congruentes, logo o volume do tronco de cilindro é a metade do volume do cilindro.

Exercício resolvido

04. Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6 cm é secionado por um plano oblíquo a ela, que determina, no cilindro, alturas entre 2 cm e 8 cm, como indicado na figura. Determine o volume resultante.

Resolução:

Dobrando o tronco de cilindro, obtemos:

Logo, 2V = p . 32 . (8 + 2)/2 → V= 45 π cm³