Geometria Plana – Quadriláteros
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QUADRILÁTEROS
Já vimos anteriormente que o quadrilátero é um polígono com quatro lados. e
são diagonais e
Nosso objetivo nesse momento é explorar alguns quadriláteros notáveis.
PARALELOGRAMO
Paralelogramo é o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.
Com isso, ele terá algumas propriedades especiais:
• Ângulos opostos sempre serão congruentes. Na figura,
• Dois ângulos consecutivos sempre serão suplementares. Assim, na figura observa-se que .
• Lados opostos sempre serão congruentes. Na figura,
• As diagonais cortam-se em seus pontos médios. Na figura,
TIPOS DE PARALELOGRAMOS
Retângulo
O retângulo é um paralelogramo que possui os quatro ângulos retos.
Com isso, além dele possuir todas propriedades do paralelogramo, no retângulo todas as diagonais possuem a mesma medida.
Losango
O losango é um paralelogramo que possui os quatro lados congruentes.
Com isso, além dele possuir todas propriedades do paralelogramo, no losango as diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos.
Quadrado
O quadrado é um paralelogramo que é ao mesmo tempo um retângulo e um losango. Dessa forma, o quadrado possui todas as propriedades de um paralelogramo e de um losango.
TRAPÉZIO
O trapézio é um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos. Esses lados são chamados de base maior e base menor.
Com isso, na figura:
é a base maior,
é a base menor,
.
TIPOS DE TRAPÉZIO
Trapézio Isósceles
O trapézio isósceles possui os lados não paralelos congruentes.
Com isso, na figura:
• As diagonais serão sempre congruentes, isto é, .
• Os ângulos da base maior serão congruentes entre si, isto é, .
• Os ângulos adjacentes a base menor também serão congruentes entre si, isto é, .
Exemplo:
01. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles, são respectivamente bissetrizes dos ângulos
.
Calcule a medida do ângulo .
Resolução:
Como o trapézio é isósceles seus ângulos
e
são congruentes.
Como a soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180˚ e o triângulo ∆BIC é isósceles descobrimos que , dessa forma, os ângulos internos
e
valerão 60° cada. Como no trapézio os ângulos apoiados sobre uma mesma transversal são suplementares temos que o ângulo procurado
mede 120°.
Trapézio Retângulo
O trapézio retângulo possui exatamente dois ângulos retos.
Trapézio Escaleno
Quando os lados não paralelos não são congruentes chamamos o trapézio de escaleno.
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
A base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. Na figura a base média é MN.
A base média é paralela as bases do Trapézio, isto é, .
A base média do Trapézio é a média aritmética das bases, isto é, .
Mediana de Euler
É o segmento que une os pontos médios das diagonais. Esse segmento é paralelo às bases e pode ser calculado a partir da semi-diferença das bases.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. No desenho anterior, observe que é uma parte de
. Calcularemos
.
Note que e
são congruentes e valem a metade de
(use base média do triângulo).
Dessa forma, temos que .
02. é um trapézio de diagonais
e
, suas bases são
e
, com
. Sabe-se que
e que as bissetrizes internas de
e
cortam-se em um ponto I de modo que
. Dessa forma, determine a medida do ângulo
.
Resolução
A soma dos ângulos internos do triangulo ∆BIC é 180°. Já conhecemos dois de seus ângulos: (metade do ângulo B) e
(dado no enunciado), dessa forma, é fácil perceber que o ângulo
.
Assim, concluímos que o ângulo e por conseguinte que o ângulo pedido
pois é suplemento do ângulo
.
