Geometria Plana: Semelhança e Escala
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TEOREMA DE TALES
Se três retas paralelas são cortadas por duas transversais, determinando nessas transversais segmentos a, b, c e d, como na figura, então:
Em alguns problemas pode-se usar a seguinte propriedade das proporções:
Exemplos:
01. Na figura r//s//t. Determine x.
Resolução:
Como r//s//t, podemos aplicar o Teorema de Tales.
02. Calcule x + y, de acordo com a figura abaixo, sabendo que r//s//t.
Resolução:
Como r//s//t, podemos aplicar o Teorema de Tales.
Inicialmente, podemos encontrar o valor de x:
Em seguida, o cálculo de y:
Dessa forma, temos que .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. A figura a seguir representa um terreno com frente para duas ruas. A frente para a rua da Paz mede 270 metros.
O proprietário do terreno resolveu dividi-lo em três lotes menores, traçando sobre ele duas paralelas perpendiculares
à rua do Amor. Os terrenos I, II e III ficaram com , e de frente para essa rua, respectivamente.
Com base nessas informações, determine as medidas das frentes dos três terrenos para a rua da Paz.
Resolução:
As ruas paralelas nos permitem uma aplicação direta do Teorema de Tales.
Chamando as frentes dos terrenos I, II e III de x, y e z, respectivamente, vem:
Separadamente, calculamos:
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
Em qualquer triângulo, a bissetriz interna divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Dessa forma, na figura temos:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. Em uma recreação da escola, duas crianças correm sobre os lados de um triângulo marcado no chão. Ambas partem do ponto A e se encontram em D, por caminhos diferentes. Uma percorre sobre os segmentos AB e BD, e a outra sobre AC e CD, de modo que BÂD = DÂC, como marcado na figura.
Dessa forma, calcule a medida x indicada na figura.
Resolução:
Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna, teremos:
03. Em um condomínio fechado dois seguranças fazem a vigilância noturna. A região de responsabilidade de cada um não depende da área, mas sim do ângulo de visão. Uma determinada parte do condomínio tem o formato de um triângulo ABC, e D é um ponto do condomínio sobre o lado do triângulo. Um vigilante ficará com a parte correspondente ao triângulo ABD e o outro com a parte correspondente ao triângulo ADC.
Sabendo que ,
e
, determine a distância do ponto A ao ponto C, de modo que o ângulo de visão BÂD seja igual ao ângulo de visão DÂC.
Resolução:
Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna, teremos:
OBSERVAÇÃO
Para encontrar os ângulos externos de um triângulo, basta prolongar um dos lados adjacentes. O ângulo externo são ângulos adjacentes aos ângulos internos.
Assim, quando se trata de bissetriz externa, basta dividir ao meio um ângulo externo, podendo ele encontrar o prolongamento de um outro lado do triângulo.
Observe a imagem.
Assim, dado um triângulo ABC, de acordo com o teorema da bissetriz externa, é possível escrever a seguinte proporção:
x/c = y/b, sendo x = a + y
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
A noção de semelhança será muito útil para verificação de diversas relações métricas. Em geral, quando uma figura é uma ampliação da outra, dizemos que as duas figuras são semelhantes. Nosso objetivo agora é abordar a semelhança em triângulos.
Dois triângulos são ditos semelhantes quando possuem os lados ordenadamente proporcionais e os ângulos ordenadamente congruentes
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo . Escrevemos
.
Assim, para os ângulos temos, e
.
Para os lados temos , em que k é chamada razão de semelhança.
CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
• Caso AA (ângulo – ângulo)
Dois triângulos são semelhantes quando há dois ângulos respectivamente congruentes. Assim, já sabemos que o terceiro ângulo também será congruente.
• Caso LAL (lado – ângulo – lado)
Dois triângulos são semelhantes se existem dois lados, respectivamente, proporcionais e os ângulos formados por esses lados são congruentes.
• Caso LLL (lado – lado – lado)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existem três lados, respectivamente proporcionais.
Observações:
• A razão entre as alturas homólogas também é k;
• A razão entre os perímetros também é k.
• Em geral, a razão entre duas linhas homólogas quaisquer também é k.
• A razão entre as áreas é k².
• Em geral, pode-se dizer que duas figuras quaisquer são semelhantes quando uma é uma ampliação da outra.
• Quando a razão de semelhança for k = 1, as figuras são congruentes.
Exemplos:
A) Calcule x e y com base nas figuras.
Resolução:
Como os triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes, eles serão semelhantes. Assim, em que x = 4 cm e y = 5 cm.
B) Na figura, e
. Dessa forma, calcule a medida de
.
Resolução:
Nota-se que os triângulos APQ e ABC são semelhantes, dessa forma, temos:
ESCALA
A escala em um mapa ou desenho é uma constante, relacionando as dimensões apresentadas entre o desenho e o objeto real representado por ele.
Escala = medida da representação : medida no real
Essas unidades devem sempre está na mesma unidade de medida.
Observe o exemplo abaixo:
Se um mapa apresenta uma escala de 1:100, significa que a cada 1 cm no mapa á equivalente a 100 cm na área real, ou seja, 1 metro.
