Função Logarítmica
Chamamos de equação logarítmica a toda equação que possui incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo.
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Resolveremos essas equações com base na definição de logaritmo, ou no seguinte resultado que estudamos anteriormente:
OBSERVAÇÃO
Deve-se tomar cuidado com a condição de existência de um logaritmo. Lembrar que logab só existe se b > 0, a > 0 e a ≠ 1.
Pode-se determinar a condição de existência do logaritmo antes de resolver a equação, e depois verificar se a solução encontrada “serve” como solução da equação. Em alguns casos, determinar a condição de existência dos logaritmos pode ser trabalhoso, pois em geral, depende da resolução de inequações.
Outro caminho, em geral mais curto, é resolver a equação e depois verificar se a solução encontrada não torna inválida a existência do logaritmo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Resolva as equações em ℝ.
A) log (8x–1) = log (10x – 7)
Resolução:
Note que foi omitida a base dos logaritmos. Nesse caso a base é 10. Como as bases são iguais, temos:
8x – 1 = 10x – 7
2x = 6
x = 3
Agora precisamos verificar se x=3 não torna inválida a existência dos logaritmos.
Note que nos logaritmos deve-se ter (8x – 1) > 0 e (10x – 7) > 0
Substituindo x = 3, temos
8 . 3 – 1 = 23 > 0
Logo x = 3 é solução.
S{3}
B) log3 (5x + 7) = 3
Resolução:
Nessa equação, vamos inicialmente fazer a condição de existência dos logaritmos:
Deve-se ter
Resolvendo a equação, a partir da definição de logaritmos, temos:
log3(5x + 7) = 3
33 = 5x + 7
27 = 5x + 7
20 = 5x
x = 4
Como x = 4 satisfaz a condição de existência, temos
S = {4}
C) log22 x– 10 . log2 x = – 16
Resolução
Inicialmente, a condição de existência dos logaritmos é x > 0.
Note que, a equação dada é equivalente a
Fazendo a substituição log2x = m, temos
Resolvendo essa equação do 2º grau, obtemos m = 8 ou m = 2. Daí log2 x = 8, donde x = 256, ou log2 x = 2, donde x = 4. Como os dois satisfazem a condição de existência, temos:
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Considere um número real a, positivo e diferente de 1. Chamamos de função logarítmica de base a, a função
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. Considere a função . Calcule f(8).
Resolução:
f(x) = log2x
f(x) = log28
f(8) = 3
GRÁFICO
O aspecto do gráfico da função logarítmica vai depender do valor da base a. Quando a > 1, o gráfico é crescente. Quando 0 < a < 1, o gráfico é decrescente, como na figura a seguir.
OBSERVAÇÃO
1) Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo x no ponto (1,0).
2) a > 1, x > 1 tem logaritmos positivos e 0 < x < 1 tem logaritmos negativos.
3) a < 1, x > 1 tem logaritmos negativos e 0 < x < 1 tem logaritmos positivos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
03. (UERJ) A relação entre as coordenadas x e y de um corpo em movimento no plano é dada por y = 10log x.
O gráfico correspondente a esta relação é:
Gabarito: A
, portanto é uma função afim. Mas não pode ser letra D pq teríamos valores de x menores que 0, o que não pode no logaritmo.
02. (UERJ – ESPECÍFICA) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo , conforme o gráfico abaixo. Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.
Resolução:
Existem dois pontos marcados no gráfico. A partir deles, temos:
Logo, f(x)
