Função do 2° Grau – Máximo e Mínimo

INTRODUÇÃO

Um esporte bem conhecido é o salto com vara. Nesta modalidade, o atleta deve passar por cima de uma barra, usando uma vara de apoio, sem derrubá-la.

Quando o atleta executa o salto, seu movimento tem um formato de uma parábola com concavidade voltada para baixo. Para não ser eliminado, a altura máxima atingida pelo seu corpo deve ser maior que a altura da barra para que o atleta não encoste na barra.

Temos aqui um exemplo de valor máximo de uma parábola.
Observe a questão abaixo.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. No salto com vara, o atleta deve ultrapassar o sarrafo, colocado em determinada altura, tomando impulso suficiente e se elevando com a utilização de uma vara flexível.

Desde o momento da impulsão até o momento de altura máxima, o atleta desenvolve um deslocamento vertical (H) e horizontal (X) em forma de parábola: H = ax² + bx + c. O ponto x = 0 corresponde ao momento da impulsão; após atingir a altura máxima, o atleta cai verticalmente. O sarrafo está a 4,9 metros de altura; a altura máxima atingida pelo atleta é de 5 metros (H = 5: o ponto máximo da parábola) e está horizontalmente a 5 metros do ponto de impulsão. Sabendo que a altura H foi medida considerando a parte mais baixa do corpo do atleta, marque as alternativas corretas.

a) O valor do coeficiente a da parábola é 0,2.

b) A relação entre o deslocamento vertical (H) e horizontal (x) é dada por H = 0,2x² + 2x.

c) O valor do coeficiente b da parábola é 3.

d) Após se deslocar horizontalmente 1 m do ponto de impulsão, o atleta irá atingir uma altura de 2 m.

e) O atleta conseguiu ultrapassar o sarrafo.

Resolução:

[a] Sabendo que a parábola tem concavidade para baixo, conforme gráfico apresentado, sabe-se que a < 0. Opção
errada.

[b] Sabendo que a parábola tem concavidade para baixo, conforme gráfico apresentado, sabe-se que a < 0. Opção
errada.

[c] Calculando:

H = ax² + bx + c
Pontos (0, 0) e (5, 5)
0 = 0a + 0b + c → c = 0
5 = a . 5² + 5b → 25a + 5b = 5 → 5. (5a + b) = 5 → 5a + b=1
xᵛ = 5 = -b/2a → b = -10a

5a – 10a = 1 → -5a = 1 → a = -0,2 → b = 2 , Opção errada

[d] Conforme cálculos do item anterior, tem-se:

H = –0,2x² + 2x
Ponto (1, 2) pertence?
2 = -0,2 . 1² + 2.1 → 2 ≠ 1,8 , Opção errada.

[e] Se o sarrafo está posicionado a uma distância horizontal de 4,9 metros do ponto de impulsão, então a altura máxima do atleta atingida nesse instante será:

H = – 0,2x² + 2x
H = -0,2 . 4,9² + 2.4,9 → H = 4,998 > 4,9 m (altura do sarrafo)

Logo, o atleta consegue ultrapassar o sarrafo. Opção correta.

Assim, toda função quadrática assume um valor de máximo ou mínimo. Segue abaixo as seguintes definições.

Observe a parábola que representada graficamente a função polinomial do 2° grau, sendo V o vértice da parábola. Temos f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, então V é chamado de ponto máximo da função, com a ordenada – ∆/ 4a (valor máximo de f).

Observe a parábola que representada graficamente a função polinomial do 2° grau, sendo V o vértice da parábola. Temos f(x) = ax² + bx + c, com a > 0, então V é chamado de ponto mínimo da função, com a ordenada – ∆/ 4a (valor mínimo de f).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. (IFPE) Um técnico em administração, formado pelo IFPE Campus Paulista, trabalha numa empresa e que o faturamento e o custo dependem da quantidade x de peças produzidas. Sabendo que o lucro de uma empresa é dado pelo faturamento menos o custo e que, nessa empresa, o faturamento e o custo obedecem respectivamente às funções f(x) = –x² + 3.800x C(x) = 200x + 3.200, e o número de peças que devem ser produzidas para que a empresa obtenha o lucro máximo é

a) 3.200
b) 1.600
c) 3.600
d) 2.000
e) 1.800

Resolução: E
Sabendo que o lucro é o faturamento menos o custo temos:
f (x) – c(x) = -x² + 3.800x – 200x – 3200 = -x² + 3600x – 3200
Sabendo que o ponto de Máximo lucro pode ser calculado com o vértice da função onde a primeira entrada representa o número de peças e a segunda o lucro, basta obtermos o valo da primeira entrada do vértice da função. Logo:

Logo, o número de peças é de 1.800 peças. 

02. (UEMG) O lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto.

Uma fábrica de tratores produziu n unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função C(n) = n² – 1000n e a receita representada por R(n) = 5000n – 2n².

Com base nas informações acima, a quantidade n de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo corresponde a um número do intervalo

a) 580 < n < 720
b) 860 < n < 940
c) 980 < n < 1300
d) 1350 < n < 1800

Resolução: C

Tem-se que:

L = 5000n – 2n² – (n² – 1000n) = 3000000 – 3(n-1000)²

Portanto, deverão ser produzidas 1.000 peças para que o lucro seja máximo.

03. (UFPB) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de C(p) = 0,5p + 1 partes por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população nessa região será de p(t) = 2t² – t + 110 milhares de habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no mínimo: 

a) 2 anos
b) 2 anos e 6 meses
c) 3 anos
d) 3 anos e 6 meses
e) 4 anos

Resolução: B

De acordo com as informações do problema, podemos escrever:

61 = 0,5 p + 1 ⇔ p = 120 mil habitantes

Fazendo p(t) = 120 na segunda função, temos: 

120 = 2t² – t + 110 ⇔ 2t² – t – 10 = 0 ⇔ t = 2,5 ou t = 2 (não convém)

Logo, t é, no mínimo, 2 anos e 6 meses.

04. (UPE) Se o valor mínimo de 5x² – 6x + m é estritamente maior que 3, então é correto afirmar que necessariamente

a) m > 4
b) m > 5
c) m < 4
d) m < 5
e) 4 < m < 5

Resolução : A

Portanto, a resposta A é a mais adequada.