Geometria Espacial – Semelhança de Sólidos e Troncos
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RAZÃO ENTRE ÁREAS E VOLUMES DE FIGURAS SEMELHANTES
Dadas duas figuras semelhantes, é possível estabelecer a razão entre suas áreas e seus volumes através da razão de semelhança.
Considere as figuras semelhantes abaixo, uma de altura h e a outra de altura H.
Observando que áreas e volumes são diretamente proporcionais à cada uma de suas dimensões, a razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança e a razão entre volumes de figuras semelhantes é o cubo da razão de semelhança. Podemos afirmar que a razão entre as áreas das figuras 1 e 2 é:
e a razão entre os volumes das figuras é:
Exemplo:
Considere 2 cubos, um de aresta 2 e outro de aresta 3.
A razão entre as áreas totais é:
A razão entre os volumes é:
Exercício Resolvido
01. Duas estátuas são semelhantes, e a maior tem o dobro da altura da menor. Se a menor tem volume de 3 m³, determine o volume da estátua maior:
a) 6 m³
b) 9 m³
c) 12 m³
d) 24 m³
e) 36 m³
Resolução:
Como conhecemos a razão entre as alturas (razão linear), podemos obter facilmente a razão entre os volumes, veja:
SEÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE OU CONE
Uma seção transversal de uma pirâmide ou de um cone é uma seção feita por um plano paralelo à base. Note que as regiões obtidas na seção, são semelhantes à região da sua respectiva base.
Observe na figura, que a pirâmide e o cone de altura H foram seccionados por um plano paralelo à sua base, formando outro sólido semelhante de altura h. Considere a área da seção As, a área da base Ab e os volumes v e V para sólidos semelhantes de alturas h e H respectivamente. Temos então:
Aˢ /Aᴮ = (h/H)²
v/V= (h/H)³
TRONCOS
Cabe ressaltar que ao seccionarmos uma pirâmide ou um cone por um plano paralelo à base, obtemos dois sólidos: um semelhante ao original, como abordamos anteriormente, e um outro chamado tronco de pirâmide ou tronco de cone.
Considere, nesses troncos, que as medidas das áreas de suas duas bases paralelas e semelhantes são dadas por AB e Ab e a medida de sua altura (distância entre as bases) dada por h. O volume do tronco é calculado por:
Podemos ainda obter, mais especificamente, que o volume de um tronco de cone, cujos raios das bases maior e menor são R e r respectivamente, pode ser dado por.
Vᵗʳᵒⁿᶜᵒ = π . h/3 . (R² + r² + R . r)
Exercício Resolvido
02. Para obter um objeto de decoração, um artista plástico utiliza uma pirâmide de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice o artista deve cortá-la por um plano paralelo a base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original:
a) 2 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
e) 8 m
Resolução:
Usando as razões de semelhança podemos escrever:
Extraindo a raiz cúbica de ambos os membros, temos:
Portanto, o gabarito procurado é a alternativa c.
02. (UFU) Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone circular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir.
Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é o valor (em cm) do raio da base maior R?
a) 8,5
b) 9
c) 8
d) 7,5
Resolução:
Como 0,097π litros correspondem a 25% = 1/4 da capacidade do balde, temos que a capacidade do balde é igual a 4 · 0097πL = 0,388πL = 388π cm³.
Portanto, sabendo que a altura do balde mede 12 cm e o raio da base menor mede 3 cm, vem
388π = 12π/3 (R² + 3R + 3²) ⇔ R² + 3R – 88 = 0 ⇒ R = 8cm.
Portanto, o gabarito procurado é a alternativa c.
03. (UDESC) Um recipiente de uso culinário com 16 cm de altura possui o formato de um tronco de cone reto (conforme ilustra a figura) e está com água até a metade da sua altura.
Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a 20 cm e que o diâmetro de sua base é igual a 4 cm, classifique as proposições abaixo e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa.
( ) O volume de água no recipiente corresponde à quarta parte da quantidade necessária para enchê-lo totalmente.
( ) Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 28 cm³ por segundo, então o tempo necessário para esvaziá-lo será superior a 20 segundos.
( ) Para aumentar 4 cm do nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais 364π cm³ de água.
A alternativa correta, de cima para baixo, é:
a) V – F – F
b) F – V – F
c) F – V – V
d) F – F – V
e) V – V – F
Resolução:
Considere a figura.
Sabendo que AD = 16 cm e que o recipiente está com água até a metade da sua altura, segue que AE = ED = 8 cm. Além disso, como AC = 20 cm e EB é base média do triângulo ACD, vem AB = BC = 10 cm. Desse modo, BE = 6 cm e CD = 12 cm.
Sabendo ainda que AO = DF = 2 cm, temos que o volume do recipiente é dado por
π . AD /3 = (BG² + BG . AO + AO²) = π . 16/3 . (14² + 14 . 2 +2²) = 1216πcm³.
Por outro lado, o volume de água no recipiente é
π.AE/3 . (BG² + BG . AO + AO²) = π .8/3 . (8² + 8 . 2 + 2²) = 224πcm³.
Assim, a quantidade necessária de água para encher totalmente o recipiente é 1216π – 224π = 992π cm³.
Portanto, 224π/992π = 7/31 ≠ 1/4.
Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 28 cm³ por segundo, então o tempo necessário para esvaziá-lo
Será 224π/28 = 224.3/28 = 24 > 20s.
Para aumentar 4 cm o nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais π . 4/3 . (11² + 11 . 8 +8²) = 364πcm³ de água.
