Trigonometria – Relação fundamental e suas consequências

A RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

Como vimos anteriormente o ciclo trigonométrico possui eixos que representam as linhas trigonométricas. Além disso, por definição possui raio unitário.

Observe a figura abaixo:

O triângulo BOF é retângulo, dessa forma podemos aplicar o teorema de Pitágoras para relacionar as medidas de seus lados.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

01. Sendo x um arco do 2º quadrante e sen a = 0,8, calcule o valor de cos a.

Resolução:

Podemos utilizar a relação fundamental que nos diz que sen²a + cos²a = 1

Substituindo o valor de sen a temos que:

0,8² + cos² a = 1.
0,64 + cos²a = 1
cos²a = 1-0,64
cos²a = 0,36
cosa = ± 0,36

Como a é um arco do 2º quadrante sabemos que o valor de seu cosseno é negativo, portanto, cos a = – 0,6.

OUTRAS RELAÇÕES

A partir da relação fundamental podemos, algebricamente, concluir dois fatos muito importantes.

1. Dividindo ambos os membros por , obtemos:

2º. Dividindo ambos os membros por , obtemos:

Como podemos interpretar geometricamente essas relações?

Note que o segmento .

O triângulo  é retângulo, portanto, vale o teorema de Pitágoras.

Para obtermos a segunda relação estudada precisamos conhecer o eixo das cotangentes (que é perpendicular ao eixo das tangentes!) e então o processo é análogo ao anterior.

Observe que por conta do paralelismo os ângulos  e  são opostos pelo vértice, portanto, congruentes.

Sabemos também que o ângulo  é reto, logo o triângulo dado é retângulo e vale o teorema de Pitágoras.