Potenciação e Equação Exponencial

POTENCIAÇÃO

Potência de expoente n inteiro (n ≥ 2) de um número real “a” é o produto de n fatores iguais a “a” e sua representação é feita por aⁿ.

aⁿ = a . a . a…a/ⁿvezes

O número a é chamado de base e o número n de expoente.

Definições:

a¹ = 0

a⁰ = 1 (a ≠0)

Propriedades:

I. aᵐ . aⁿ =  aᵐ⁺ⁿ

II. aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠0)

III. (a . b)ⁿ = aⁿ bⁿ

IV. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (a ≠0)

V. (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ = aᵐ.ⁿ

VI. 0ⁿ= 0 (n > 0)

VII.  ⁿ√aᵐ = aᵐ/ⁿ (n ≠ 0)

VIII. (1/aⁿ) = a⁻ⁿ (a ≠0)

IX. (a/b)ⁿ = (b/a) -ⁿ (a ,b ≠ 0)

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Usar a notação científica é colocar um número muito grande ou muito pequeno em função de 10ⁿ, onde n é o total de casas que vamos tirar.

Números muito pequenos ou muito grandes são frequentemente encontrados nas ciências em geral e escrever em notação científica facilita fazer comparações e cálculos.

N . 10ⁿ

Sendo, N um número real igual ou maior que 1 e menor que 10
e n um número inteiro.

O expoente da potência 10 será o número de casas que precisamos mover a vírgula. Se ao deslocar a vírgula o valor do número diminuir, então o expoente ficará positivo. Ou se o número aumentou, o expoente ficará negativo.

Exemplo:

a) 7 380 000 000 000 = 7,38 · 10¹²
b) 0, 000000016 = 1,6 · 10- ⁸

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Nos trabalhos científicos, números muito grandes ou próximos de zero, são escritos em notação científica, que consiste em um número x, tal que 1 < x < 10 multiplicado por uma potência de base 10. Assim sendo, 0,00000045 deve ser escrito da seguinte forma:

a) 0,45 × 10⁻⁷
b) 4,5 × 10⁻⁷
c) 45 × 10⁻⁶
d) 4,5 × 10⁸

Resolução: B
Como temos que andar 7 casas para a direita até chegar no 4, colocamos 4,5 × 10⁻⁷

RADICIAÇÃO

Se n ∈ ℕ*, a expressão ⁿ√a = b indica que bⁿ = a onde:

a = radicando

n = índice

√=radical

b = raiz de índice n ou enésima

Propriedades:

I. (ⁿ√a)ⁿ = a

II. ⁿ√ab = a¹/ⁿ . b¹/ⁿ

III. ⁿ√a/b = ⁿ√a/ⁿ√b

IV. (ⁿ√a)ᵐ = (a¹/ⁿ)ᵐ = aᵐ/ⁿ

V. ᵐ√ⁿ√a = ᵐ.ⁿ√a

OPERAÇÕES

Soma e Subtração

Só podemos somar e subtrair raízes que possuam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Exemplo:

3√5 + 6√5 – 5√5 = 4√5 

Multiplicação e Divisão

Só podemos multiplicar ou dividir raízes que possuam o mesmo índice.

A figura abaixo contém exemplos de multiplicação e Divisão: 

Racionalização

Racionalizar significa retirar a raiz do denominador, mantendo a mesma fração.

A figura abaixo contém exemplos de Racionalização 

OBSERVAÇÃO

A Nanotecnologia tem por sua finalidade projetar e desenvolver produtos a partir de partículas minúsculas. Partindo da escala de que 1 milímetro equivale a 1 milhão de nanômetros, muitas questões podem ser contextualizadas nas mais diversas áreas da Medicina e da computação. Nos últimos anos o setor vem recebendo muito investimento do governo federal sendo possível que este seja um tema bastante citado em exames vestibulares.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

02. (UFF) O nanômetro é a unidade de medida de comprimento usada em Nanotecnologia (nano vem do grego e significa “anão”). Sabe-se que um metro equivale a um bilhão de nanômetros. Considerando o diâmetro da Terra com 13.000 quilômetros, conclui-se que a medida do diâmetro da terra, em nanômetro, é igual a:

a) 1,3 x 10¹⁶
b) 1,3 x 10-¹⁶
c) 1,3 x 10-⁹
d) 1,3 x 10⁹
e) 1,3 x 10⁴

Resolução: A

m = 1 bilhão de nanômetros 1 000 000 000 = (10⁹)
1km = 1000m = 1 trilhão de nanômetros 1 000 000 000 000 = (10¹²)
Como a terra tem 13.000 km de diâmetro, então temos 13.000 × 1 trilhão de nanômetros.
Em números: 13 000 000 000 000 000 (treze quatrilhões de nanômetros)
Em notação científica: 1,3 · 10¹⁶

03. (FEEVALE) O número de partidos políticos registrados no Tribunal Superior Eleitoral (TSE) em abril de 2017, no Brasil, está representado na equação a seguir por x, onde x = 2⁵ + log 1.000.
Esse número é
a) 32
b) 33
c) 34
d) 35
e) 36

Resolução: D

Calculando:
x = 2⁵ + log.1000 = 32 + 3 = 35

04.(ENEM – LIBRAS) Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 43,18 segundos.

Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é

a) 0,4318 × 10²
b) 4,318 × 10¹
c) 43,18 × 10⁰
d) 431,08 × 10-¹
e) 4.318 × 10-²

Resolução: B

Calculando:

43,18 = 43,18/10 x 10 = 4,318 x 10¹.

05. (CCPS) Uma antiga lenda da Índia afirma que o jogo de xadrez foi criado a pedido de um rei e, como recompensa, o criador do jogo recebeu grãos de trigo de acordo com o número de casas do tabuleiro, seguindo o procedimento descrito.

• O criador do jogo escolhe uma casa e recebe 2 grãos por ela.

• Para a próxima casa escolhida, ele recebe o dobro da casa anterior

• O processo continua até que todas as casas do tabuleiro sejam escolhidas exatamente uma vez.

Observando o processo podemos perceber que, para a décima casa do tabuleiro, o rei entrega 1.024 grãos.

O tabuleiro de xadrez conta com 64 casas distribuídas em 8 colunas verticais e 8 fileiras horizontais, cada uma com 8 casas. As casas são alternadamente escuras e claras.

É correto afirmar que, o número de grãos a ser entregue pela vigésima casa seria

a) maior que 1.000 e menor que 10.000.
b) maior que 10.000 e menor que 100.000.
c) maior que 100.000 e menor que 1.000.000.
d) maior que 1.000.000 e menor que 10.000.000.
e) maior que 10.000.000 e menor que 100.000.000.

Resolução: D

Do enunciado, o número de grãos a ser entregue pela vigésima casa seria 2²⁰ = 1.048.576 de grãos 

1.000.000 < 1.048.576 < 10.000.000

Assim, o número de grãos a ser entregue pela vigésima casa seria maior que 1.000.000 e menor que 10.000.000.

05. (PUC – CAMPINAS) Usando a tecnologia de uma calculadora pode-se calcular a divisão de 2 por ³√4 e obter um resultado igual a 

a) √4

b) ³√3 

c) √5

d) ³√2 

e) √4²

Resolução: D

2/³√4 = 2/³√2² . ³√2/³√2 = 2.³√2/³√2³ = ³√2 

06 (PUC-RJ) Assinale a alternativa correta.

a) 2√16 = √32

b) √50 – √32 = √2

c) √2 + √3 = √5

d) √2 + √3 = √5 +√2 

e) 5√2 + 2√2 = 14

Resolução: B

Calculando:

√50 – √32 = √2

5√2 – 4√2 = √2

07. (PUC-RJ) Quanto vale 1/√2-1 ? 

a) 1/√2 – 1 

b) √2 + 1

c) √2/2 – 1 

d) 5/2 

e) 1

Abaixo uma figura que representa a resolução da questão cujo Gabarito é B. 

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

É toda equação que contém incógnita no expoente.

Para resolvermos uma equação exponencial, na sua forma elementos, tentaremos igualar as bases das potências, aplicando propriedades de potenciação e/ou radiação.

Exemplo 1:
2ˣ= 256 → 2ˣ= 2⁸→ x = 8

Exemplo 2:
27ˣ-¹ = 9ˣ⁺ ⁴ → (3³)ˣ-¹ = (3²) ˣ ⁺ ⁴→ 3³ˣ-³ = 3²ˣ ⁺⁸ →
3x – 3 = 2x + 8 → x = 11

Exemplo 3:
2ˣ² -² = 1 → 2ˣ²-² = 2⁰ → x² – 2 = 0 → x² = 2 → x = + √2 2

Exemplo 4:
2²ˣ – 9 . 2ˣ + 8 = 0 →2ˣ = y → y² – 9y + 8 = 0 → y’ 1 = → y” = 8

2ˣ = y               2ˣ = y
2ˣ = 1                2ˣ = 8
2x = 2⁰             2x = 2³
x = 0                 x = 3

Exemplo 5:

(ESPCEX (AMAN)) As raízes inteiras da equação 2³ˣ – 7 . 2ˣ + 6 = 0 são 

a) 0 e 1.
b) –3 e 1.
c) –3, 1 e 2.
d) –3, 0 e 1.
e) 0, 1 e 2.

Resolução: A

2³ˣ – 7 . 2ˣ + 6 = 0 

(2ˣ)³- 7 . 2ˣ + 6 = 0

Fazendo 2ˣ = t,

t³ – 7t + 6 = 0 

t³ – t – 6t + 6 = 0 

t . (t² – 1) – 6 . (t-1) = 0

t . (t – 1) . (t + 1) – 6 . (t – 1) = 0

(t – 1) . (t. (t+1) – 6) = 0 

( t – 1) . (t² + t – 6)  = 0

De t – 1 = 0

t = 1 

De t² + t – 6 = 0,

t = 2 ou t = -3

Como 2ˣ = t e t = 1 ou t =2  ou t= – 3 

2ˣ = 1 ⇒ 2ˣ = 2⁰ ⇒ x = 0  

ou 

2ˣ = 2 ⇒ x = 1 

ou 

2ˣ = -3 (não há solução real) 

Assim, as raízes inteiras da equação 2³ˣ – 7 . 2ˣ + 6 = 0 são x = 0 e x = 1.

Exemplo 6:

(UFRGS) No estudo de uma população de bactérias, identificou-se que o número N de bactérias, t horas após o início do estudo, é dado por N(t) = 20.2¹,⁵ᵗ.
Nessas condições, em quanto tempo a população de bactérias duplicou?

a) 15 min.
b) 20 min.
c) 30 min.
d) 40 min.
e) 45 min.

Resolução: D
Calculando o número inicial de bactérias, temos:
N(0) = 20 . 2¹,⁵.⁰ = 20

Abaixo uma figura que demonstra como vamos determinar o valor de t em horas de modo que o número de bactérias seja 40.

Exemplo 7:

(UEFS) Considerando-se que, sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, pode ser dado pela função N(t) = 9ᵗ – 2.3ᵗ + 3, t > 0, pode-se estimar que o tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 678 colônias é de

a) 2 horas.
b) 3 horas.
c) 4 horas.
d) 5 horas.
e) 6 horas.

Resolução: B

Abaixo uma figura que demonstra como vamos determinar t de modo que N(t) seja 678, resolvendo a equação abaixo:

Exemplo 8:
(UFPR) A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão v(t) = 1000 ·2⁰,⁰⁰⁶²⁵.ᵗ fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará?

a) 8.
b) 12.
c) 16.
d) 24.
e) 32.

Resolução: C

Para t = 0 ⇒ V(0) = 1000. ⁰,⁰⁶²⁵ ⁻ ⁽⁰⁾ = 1000

Logo,

Para t = ? ⇒ V(t) = 2000

⇒ 2000 = 2000 . 2 ⁰,⁰⁶²⁵ . ⁽ᵗ⁾

⇒ 2⁰,⁰⁶²⁵ . ⁽ᵗ⁾ – 2 

⇒ 0,0625 . (t) = 1 

⇒ t = 16

Exemplo 9:

(UPE-SSA) Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função B(t) = 10⁹ . 4³ com “t” sendo medido em horas. Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4 . 10¹⁰ bactérias? 

a) 1 h

b) 3 h

c) 4 h

d) 6 h

e) 16 h

Resolução: A

A figura abaixo demonstra que Considerando B(t) = 6,4 . 10¹⁰ , temos a seguinte equação: