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Geometria Espacial – Pirâmides

Geometria Espacial – Pirâmides

Aprenda mais sobre Geometria Espacial. 

PIRÂMIDES

Considere um polígono convexo A1A2…An contido em um plano a e um ponto V fora deste plano. Considere ainda todos os segmentos de reta com uma extremidade no polígono e a outra em V. A reunião desses segmentos é um poliedro que chamamos de pirâmide.

ELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDE

Considere a pirâmide apresentada. Chamamos o ponto V de vértice da pirâmide; o polígono ABCDEF de base da pirâmide; as faces, com exceção da base, de faces laterais; as arestas que compõe a base de arestas da base e as demais arestas de arestas laterais.

A distância do vértice V ao plano da base é chamada de altura da pirâmide.

Cabe ressaltar que as faces laterais da pirâmide são sempre triangulares, e o somatório das áreas desses triângulos é chamado de área lateral.

Nomenclatura

As pirâmides são nomeadas de acordo com o número de arestas de sua base.

Exemplos:

PIRÂMIDE REGULAR

Dizemos que uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do seu vértice V sobre o plano da base coincide com o centro do polígono da base.

Exemplos:

APÓTEMA DA PIRÂMIDE E APÓTEA DA BASE

Considere uma pirâmide regular, sendo M o ponto médio de uma das arestas da base.

Chamamos o segmento VM de apótema da pirâmide (Observe que VM é a altura da face lateral da pirâmide), e o segmento OM de apótema da base.

Considere as medidas h como a altura da pirâmide, apir como medida do apótema da pirâmide, abase como a medida do apótema da base, b como medida da aresta da base, L a medida da aresta lateral e R o raio do círculo circunscrito à base.

Observando a figura anterior, obtemos as seguintes relações por meio do teorema de Pitágoras.



Exercício Resolvido

01. Considere uma pirâmide hexagonal regular de altura 8 cm cuja aresta da base mede 6 cm. Dessa pirâmide, calcule:

a) o apótema da base;

b) o apótema da pirâmide;

c) a aresta lateral.

Resolução:

a) O apótema do hexágono pode ser calculado utilizando-se a seguinte relação:

, como nesse caso o lado da base mede 6 cm, temos: .

b) O apótema da pirâmide é calculado a partir do Teorema de Pitágoras. Dessa forma, temos:

(aᵖⁱʳ)² = (aᵇᵃˢᵉ)² + h²
(aᵖⁱʳ)² = (3√3)² = 8²
(aᵖⁱʳ)² = 27 + 64
(aᵖⁱʳ)² = 91
aᵖⁱʳ = √91cm

c) para calcularmos a aresta lateral faremos uso novamente do Teorema de Pitágoras:

L² = (aᵖⁱʳ)² + (b/2)²

L² = (√91)² + (6/2)²

L² = 91 + 9 

L² = 100

L = 10cm 

PLANIFICAÇÃO DA PIRÂMIDE REGULAR

Ilustramos abaixo algumas planificações de pirâmides regulares: de base triangular, de base quadrangular e de base pentagonal.

ÁREA DA PIRÂMIDE

Podemos concluir que a área total da pirâmide é a soma da área da base com sua área lateral.

Nas pirâmides regulares, temos que a área lateral é:

Onde p é o semiperímetro e a é o apótema da pirâmide.

VOLUME DA PIRÂMIDE

O volume de uma pirâmide é dado pela terça parte do produto da área da base pela altura, ou seja:

Vᵖⁱʳᵃᵐⁱᵈᵉ = Aᵇᵃˢᵉ . h / 3 

Onde h é a altura.

Como justificativa, considere um prisma triangular como o da figura abaixo. Esse prisma pode ser decomposto em três pirâmides triangulares de mesmo volume. Assim, o volume de uma pirâmide triangular é 1/3 do volume do prisma que tem a mesma base e a mesma altura da pirâmide.

Divida o prisma ABCDEF na pirâmide triangular E-ABC e quadrangular E-ACFD. Em seguida, divida a pirâmide quadrangular em outras duas triangulares E–ACFD e E–AFD.

Observemos que VE-ACF = VE-AFD , pois a distância de E à base ACFD é a mesma para as duas pirâmides, e as áreas de AFD e AFC são iguais, logo temos duas pirâmides com mesma área de base e mesma altura. Note ainda que VA-DEF = VE-ABC. Portanto, o prisma foi dividido em três pirâmides de mesmo volume, e assim, o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma que possui mesma área de base e mesma altura.

Exercício resolvido

02. A figura a seguir representa a planificação de uma pirâmide quadrangular regular.

Sabendo-se que  mede  cm e que as faces laterais são triângulos equiláteros, o volume da pirâmide é:

Resolução:

Primeiramente, é necessário sabermos que o volume de uma pirâmide é dado por

Como a base é um quadrado de lado desconhecido a primeira coisa a se fazer é calcular este lado.

Dado que as faces laterais são triângulos equiláteros temos o valor da altura destas faces (apótema da pirâmide) que mede , assim calculamos:

Com a medida do lado da base conseguimos obter a sua área, .

Para calcularmos o volume da pirâmide dependemos agora do valor da sua altura e podemos usar o fato de que o apótema da base, o apótema da pirâmide e a altura da pirâmide formam um triângulo retângulo, desse forma, fazemos uso do teorema de Pitágoras.





Agora basta aplicarmos todos os valores obtidos na fórmula do volume:

Vᵖⁱʳᵃᵐⁱᵈᵉ = Aᵇᵃˢᵉ . h

                      3

Vᵖⁱʳᵃᵐⁱᵈᵉ = 36 . 3√2 

                       3  

Vᵖⁱʳᵃᵐⁱᵈᵉ = 36√2cm³ 

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