Trigonometria – Ciclo trigonométrico

O CICLO TRIGONOMÉTRICO

No caso dos triângulos ficávamos num universo bastante restrito visto que a soma dos ângulos internos de um triângulo é fixada em 180˚. Dessa necessidade, buscamos como ferramenta o ciclo trigonométrico que, por definição, tem raio unitário e circunferência de comprimento 2π. Convencionou-se que na circunferência orientada o ponto A é a origem na marcação de arcos e, por conta disso, arbitrou-se que o sentido positivo é o sentido anti-horário e o sentido horário será o negativo.

Observe a ilustração abaixo:

Os arcos AB e AC  acima representados têm orientação positiva e negativa, respectivamente. Com isso, escrevemos as suas
medidas acompanhadas do sinal, nesse caso, AB = + 60° e AC = -75. 

A DIVISÃO EM QUADRANTES

Podemos dividir essa circunferência, a partir da origem, em quatro arcos congruentes, como vemos na figura abaixo:

Os diâmetros A¹A³ e A²A⁴ são perpendiculares e dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos congruentes, denominados quadrantes. Numeramos os quadrantes no sentido anti-horário, dessa forma, temos:

O setor A¹OA² representa o primeiro quadrante, o setor A²OA³ representa o segundo quadrante, o setor A³OA⁴ representa o terceiro quadrante e o setor A⁴OA¹ representa o quarto quadrante.

OBSERVAÇÃO

Lembre-se que 360º = 2π rad.

Assim, podemos relacionar a unidade do grau com radiano.

Logo,

ARCOS CÔNGRUOS

Chamamos de arcos côngruos dois ou mais arcos que possuem a mesma origem e a mesma extremidade, a diferença entre dois arcos côngruos é um número de voltas inteiras dadas no ciclo.

De forma geral, se dois arcos a e B são côngruos então a – B = k · 360º, em que k ∈ ℤ, (essa conclusão pode ser escrita também em radianos e, dessa forma, a – B= k · 2p, em que k ∈ ℤ).

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

01. Verifique se os pares de arcos abaixo são côngruos:

a) 1720˚ e 1000˚

Note que a diferença entre eles (1720˚ – 1000˚) é 720˚, que representa duas voltas completas, portanto, são côngruos.

b) 780˚ e – 200˚

Note que a diferença entre eles (780˚ – (-200˚)) é 1080˚, que representa três voltas completas, portanto são côngruos.

c) 600˚ e 500˚

A diferença entre eles (600˚ – 500˚) é 100˚, que não representa um número inteiro de voltas, portanto não são côngruos.

PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA

Todo arco a tem uma primeira determinação positiva. Esse valor é o menor arco positivo que seja côngruo de a. (Representação incompleta da volta).

Exemplo:

Qual a menor determinação positiva de 900˚?

Observe que o 900˚ está na terceira volta do ciclo. Ele representa duas voltas completas e na terceira volta representa 180˚ (360˚ + 360˚ + 180˚ = 900˚) portanto o 180˚ é a primeira determinação positiva do 900˚.

Quando um arco é positivo e menor do que 360˚ ele já é a sua primeira determinação positiva.

EXPRESSÃO GERAL DE ARCOS CÔNGRUOS

No ciclo, cada ponto representa uma variedade infinita de arcos côngruos. Já sabemos que a partir da primeira determinação positiva podemos encontrar o próximo arco côngruo a este somando 360˚, dessa forma conseguimos escrever uma expressão geral para uma família de arcos côngruos.

O ponto E tem como primeira representação positiva o arco de 120˚, mas podemos escrever sua família adicionando voltas.

Observe:
120º
120º + 360º = 480º
120º + 360º + 360 = 840º
120º + 360º + 360º + 360º = 1200º
…
120º + 360º + 360º + …+ 360º = 120º + k · 360º em que k ∈ ℤ .

Nessa expressão temos a representação de todos os arcos côngruos de 120º e também a quantidade de voltas de cada arco, denotado por k.

AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO

Consideremos um ciclo trigonométrico de origem O. Para estudos de linhas trigonométricas, é associado inicialmente três eixos ao ciclo:

• O eixo dos senos será o eixo vertical de um plano cartesiano (ordenadas);
• O eixo dos cossenos será o eixo horizontal de um plano cartesiano (abscissas);
• O eixo das tangentes será o eixo paralelo ao eixo do seno e tangenciando à direita do ciclo (A¹).

O valor do seno de um arco é obtido através da projeção da extremidade do arco sobre o eixo vertical. Essa projeção é um ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para cima e negativamente para baixo em que devemos observar a distância até a origem.

O valor do cosseno de um arco é obtido através da projeção da extremidade do arco sobre o eixo horizontal. Essa projeção é um ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para direita e negativamente para esquerda em que devemos observar a distância até a origem.

O valor da tangente de um arco é obtido através do prolongamento do raio até o eixo da tangente. Esse prolongamento encontra o eixo num ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para cima e negativamente para baixo em que devemos observar a distância até A¹.

OBSERVAÇÃO 

Como o raio da circunferência trigonométrica mede uma unidade os valores de seno e cossenos ficam compreendidos entre – 1 e 1.

SINAIS NOS QUADRANTES

SENO

O seno será positivo no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 3º e no 4º.

COSSENO

O cosseno será positivo no 1º e no 4º quadrantes, negativo no 2º e no 3º.

TANGENTE

A tangente será positiva nos quadrantes ímpares e negativa nos pares.

REDUÇÃO DE QUADRANTES

É possível conhecendo os arcos do primeiro quadrante determinarmos os valores das linhas trigonométricas de qualquer outro quadrante. Para isso, é necessário conhecer o processo de redução de quadrantes que mostraremos a seguir.

REDUÇÃO DO 2º PARA O 1º QUADRANTE

Lembre-se que no segundo quadrante os arcos medem entre 90º e 180º.

Seja a um arco qualquer do 2º quadrante.

Utilizando o prolongamento do segmento EF obtemos o ponto H e construindo um segmento paralelo a EG obtemos o segmento HI.

Unindo o ponto H ao ponto O obtemos o triângulo OHI, que é congruente ao triângulo OEG.

Com isso, podemos concluir que:

Os ângulos a e B são suplementares, isto é, a + B = 180º.

Note que EG = HI e EF = FH, assim, podemos afirmar que sena = senB e cosa = – cosB. De maneira geral, para todo
90º < a < 180º temos que sen a = sen (180º-a) e cosa = -cos (180º–a).

Exemplo:
Determine o sen 150º e o cos 120º.

Resolução:

Como ambos são ângulos do 2º quadrante vamos utilizar as relações vistas acima.

sen150° = sen(180º- 150º) =  sen30º = 1/2 

cos120º = – cos (180° – 120°) = – cos 60° = – 1/2 

REDUÇÃO DO 3º PARA O 1º QUADRANTE

Lembre-se que no terceiro quadrante os arcos medem entre 180º e 270º.

Seja a um arco qualquer do 3º quadrante.

Construindo o prolongamento do segmento EO encontramos o ponto H, e traçando suas projeções ortogonais nos eixos cartesianos obtemos os pontos I e J, conforme figura abaixo:

O ângulo B é o excesso do ângulo a em relação a 180˚, dessa forma, temos que a – 180º = B. Observe que os ângulos GÔE e HÔI são O.P.V. e por isso podemos concluir que os triângulos GOE e HOI são congruentes. Note que GE = HI e OF = OJ, portanto, podemos afirmar que para todo ângulo do 3º quadrante sen a = –sen (a – 180º), assim como, cos a = -cos (a – 180º).

REDUÇÃO DO 4º PARA O 1º QUADRANTE

Lembre-se que no quarto quadrante os arcos medem entre 270˚ e 360˚.

Seja a um arco qualquer do 4º quadrante.

Utilizando o prolongamento do segmento EG obtemos o ponto H e construindo um segmento paralelo a EF obtemos o segmento HI.

Unindo o ponto H ao ponto O obtemos o triângulo OHG, que é congruente ao triângulo OEG.

Com isso, podemos concluir que:

Os ângulos a e B são replementares, isto é, a + B = 360º.

Note que EG = HG e EF =  assim, podemos afirmar que sena = -senB e cosa = cosB. De maneira geral, para todo 270º < a < 360º temos que sen a = – sen (360º – a) e cosa = cos (360º – a).