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Discussão de sistemas lineares

Discussão de sistemas lineares

Aprenda mais sobre a Discussão de sistemas lineares. 

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que ele tem. Ele pode ser: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI).

SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)

É todo sistema linear que apresenta uma única solução.

Exemplo:

{ x + y = 10
{ x – y = 4

Esse sistema apresenta uma única solução que é o par (x,y), ou seja, x = 8 e y = 2.
Considere o sistema de equações a seguir:

{ ax + by = c
{ Ax + By = C

Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:

a/A ≠ b/B

– Uma única solução
– Retas concorrentes

SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)

É todo sistema linear que apresenta mais de uma solução.

Exemplo:

{ x + y = 5
{ 2x + 2y = 10

Esse sistema apresenta mais de uma solução: (5,0); (1,4); (3,2) etc.

OBSERVAÇÃO
Se um sistema linear admite mais de uma solução, então ele admite infinitas soluções.

Considere o sistema de equações a seguir:

{ ax + by = c
{ Ax + By = C

Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:

a/A = b/B = c/C

– Infinitas soluções
– Retas coincidentes

SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)

É todo sistema linear que não admite solução.

Exemplo:

{ x + y = 10
{ 2x + 2y = 13

Note que nenhuma solução da primeira equação é também solução da segunda.
Considere o sistema de equações a seguir:

{ ax + by = c
{ Ax + By = C

Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:
a/A = b/B ≠ c/C

– Nenhuma solução
– Retas paralelas

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Classifique os sistemas a seguir:

a) { 2x + 6y = 9
     { -3x – 9y = -11

b) Discutir o sistema { 2x – y = 10
                                       { – 2x + y = – 10

Resolução:

a) Relacionando os coeficientes das equações, temos:

2/-3 = 6/-9 ≠ 9/-11

Logo, o sistema é impossível.

b) Relacionando os coeficientes das equações, temos:

2/-2 = -1/1 = 10/-10

Logo, o sistema é possível indeterminado.

DISCUSSÃO DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A 2×2

Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, geralmente temos:

D ≠ 0 ⇒ SPD e D = 0 ⇒ SPI ou SI

SISTEMAS HOMOGÊNEOS

Quando o termo independente de cada uma de suas equações é igual a zero.

Exemplos:

{ x + 2y = 0        ou        { x – y – 2z= 0
{ 2x – y = 0                    { – x + y + z = 0
                                        { x – 2y + z = 0

Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos:

D ≠ 0 ⇒ SPD e D = 0 ⇒ SPI

Todo sistema linear homogêneo é possível, pois admite no mínimo a solução trivial (0,0,0).

EXERCÍCIO RESOLVIDO

02. (UFJF-PISM) Considere o sistema dado pelas equações:

x – 3y + 4z = 3
2x – 5y + 10z = 8
x – y + (a² – 1)z = a + 10

a) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e determinado e encontre seu conjunto solução.

b) Determines o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e indeterminado.

Resolução:

a) O sistema é possível e determinado se, e somente se,

Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, obtemos

Em consequência, o conjunto solução é

b) O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, a²– 9 = 0 e a + 3 = 0, isto é, se a = -3.

03. (UFPR) No processo de preparação de uma mistura, foi necessário estudar o sistema linear:

{ p + 2q + r = 3
{ 2p        +3r = 8
{ p + 6p         = 1

Nesse sistema, p, q e r representam as quantidades dos três elementos envolvidos na mistura.

a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema.
b) Resolva o sistema.

Resolução:

a) A matriz dos coeficientes do sistema é ( 1 2 1 ) Logo, seu determinante é igual a
                                                                             ( 2 0 3 )
                                                                              ( 1 6 0 )

( 1 2 1 )
( 2 0 3 ) = 6 + 12 – 18 = 0
( 1 6 0 )

b) Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, vem

Onde r = 2 + 4q e p = 1 – 6q. Observando que p, q e r são números reais não negativos, deve-se ter q ∈ [0 , 1/6 ] 

Portanto, fazendo q = α, segue-se que o conjunto solução do sistema é { ( 1 – 6α, α, 2 + 4α); 0 < α < 1/6 }

04. (UFMG) Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y

{ 2x + 3y = 2
{ 6x + ay = 3

Observando-se que o coeficiente de y na segunda equação é um parâmetro a,

a) DETERMINE para quais valores de a o sistema tem solução.

b) DETERMINE as soluções x e y em função do parâmetro a, caso o sistema tenha solução.

c) DETERMINE todos os valores de a para os quais o sistema tenha como solução números inteiros x e y.

Resolução:

a) { 2x + 3y = 2
     { 6x + ay = 3

Multiplicando a primeira equação por –3 e somando os resultados com a segunda, temos a seguinte equação:
(a – 9)y = –3, que terá solução se, e somente se, a≠9

b) Do item (a), concluímos que y = 3/9 – a e que x = 2a – 9/2 .(a – 9) 

c) x = i + 3y/2 o que nos leva a concluir que o valor de y deverá ser par, portanto y = 2.n, com n inteiro

3/9 – a = 2n ⤇ a = 18n – 3/2n, com n ∈ ℤ*

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