Escalonamento e regra de Cramer

PROCESSOS PARA ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR

Para escalonar um sistema linear, resolvê-lo e depois classificá-lo, alguns procedimentos podem ser feitos:

• T1: um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

• T2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

• T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

OBSERVAÇÃO

• Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para se afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S = ø.

• Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo independente igual a zero, esta equação poderá ser eliminada. E todos os termos de números reais são soluções, ou seja, sistema indeterminado.

Agora, para escalonarmos um sistema, deve-se seguir um passo a passo, todos eles relacionados com os procedimentos T1, T2 e T3.

1° passo: A primeira equação precisa estar com o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero. Tente colocar o coeficiente igual a 1, se possível.

2° passo: Nesse processo é necessário anular o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações abaixo da primeira equação (a partir da segunda equação, substitua a linha escolhida pela soma da mesma com a 1ª equação multiplicada por um número conveniente para que anule a linha escolhida).

3º passo: Deixe de lado a 1ª equação e aplique as ideias do 1º e 2º passos nas equações restantes.

4º passo: Agora deixe de lado a 1ª e a 2ª equação e novamente aplique as ideias do 1º e 2º passos nas equações restantes. E assim por diante, até que todo o sistema esteja escalonado. Os exemplos a seguir esclarecerão os passos listados acima.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Resolva o sistema abaixo usando o escalonamento.

x + 3y – 2z = 3 (Equação 1)
2x – y + z = 12 (Equação 2)
4x + 3y – 5z = 6 (Equação 3)

Resolução:

{ x + 3y – 2z = 3
{ 2x – y + z = 12
{ 4x + 3y – 5z = 6

1º Tentar colocar o coeficiente do x na 1ª equação, igual a 1.

2º Multiplicar a 1ª equação pelo simétrico do coeficiente x das 2ª e 3ª equações e somar respectivamente.

3º Vamos montar o novo sistema com a 1ª equação original e as 2 novas.

{ x + 3y – 2z = 3
{ -7y + 5z = 6
{ -9y + 3y = -6

4º Vamos fazer um sistema com as 2 novas.

5º Temos então:

{ x + 3y – 2z = 3
{ -7y + 5z = 6
{ -24z = -96

6° Usando a última, temos:

-24z = -96 ⟹ z = -96/-24 

z = 4

7° Vamos usar o z = 4 na 2ᵃ equação e determinar o y.

-7y + 5(4) = 6 ⟹ -7y + 20 = 6 ⟹ -7y = -14

y = 2 

8° Usando z = 4 e y = 2, vamos determinar o x na 1° equação: 

x + 3(2) – 2(4) = 3 ⟹ x + 6 – 8 = 3 ⟹ x – 2 + 3

x = 5

S = (5, 2, 4)

02. (UNESP) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C.

Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma:

• total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos);
• R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos);
• R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos);
• R$ 1450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos).

O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três bancos.

Resolução:

Sabendo-se que foi investido R$ 1.000,00 no banco A seguindo a diversificação do grau de risco apresentada no gráfico, pode-se escrever:

Banco A:

• baixo risco: 80% → 1000 · 0,8 = R$ 800,00
• médio risco: 15% → 1000 · 0,15 = R$ 150,00
• alto risco: 5% → 1000 · 0,05 = R$ 50,00

Sabe-se ainda que foram aplicados:

• R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco, sendo 80% no banco A (correspondente a R$ 800,00), 20% no banco B e 50% no banco C;

• R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco, sendo 15% no banco A (correspondente a R$ 150,00,) 70% no banco B e 10% no banco C;

• R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco, sendo 5% no banco A (correspondente a R$ 50,00), 10% no banco B e 40% no banco C.

Sendo B e C o montante aplicado em cada um dos bancos, respectivamente, e com as demais informações do enunciado, pode-se escrever o seguinte sistema:

0,6B = 1200 → B = 2000

0,8 . 2000 + 0,5C = 3100 → 0,5C = 1500 → C = 3000

Assim, os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$ 2.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C.

Para calcular os ângulos α, β e γ, indicados no gráfico pode-se utilizar a regra de três:

Baixo risco                                     Médio Risco                                                        Alto Risco
6000 ______ 360°                    6000____360°                                            6000____360°

2700______ β                            1850____γ                                                       1450____ α

β = 2700.360/6000  → β  = 162°

γ = 1850.360/6000 → γ = 111° 

α = 1450.360/6000 → α = 87°

03. (UFSC) Se a terna (a, b, c) é solução do sistema { x + 2y + z = 9 ,então calcule o valor numérico de (a + b + c).
                                                                                                 { 2x + y – z = 3
                                                                                                 { 3x – y – 2z = -4

Resolução:

Tomando a matriz ampliada do sistema e escalonando, obtemos

Portanto, o sistema escalonado equivalente é

{ x + 2y + z = 9
{ – y + z = -1
{ -6z = -12

Resolvendo esse sistema, obtemos facilmente x = 1, y = 3 e z = 2. Portanto, segue que a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6.

REGRA DE CRAMER

Considerando um sistema linear com o número do incógnitas igual ao número de equações, iremos estudar melhor a regra de Cramer para a resolução de uma sistema linear, baseado do cálculo de determinantes.

Gabriel Cramer (1702-1752) foi um matemático suíço que demonstrou em 1750 a resolução por meio dessa regra, que ficou registrada com o seu nome. E acredita-se que ele não tenha sido o primeiro matemático a fazê-lo, pois os cálculos já eram conhecidos por Maclaurin desde 1729.

CASO 2X2

Inicialmente vamos verificar o uso da regra de Cramer para o caso de um sistema 2×2.
Considerando o sistema de incógnitas x e y:

{ ax + by = p
{ cx + dy = q

Seja M a matriz composta pelos coeficientes do sistema.
Assim, temos que o determinante de M é:

M = [a b] e D = det(M) = ad – bc
        [c b]

Se D ≠ 0 , então o sistema é possível e determinado (SPD) e a sua solução (x,y) é dada por:

x = Dˣ/D e y = Dʸ/D

em que Dˣ e Dʸ são os determinantes das matrizes obtidas a partir da matriz M, substituindo a primeira e a segunda coluna, respectivamente, pela coluna dos coeficientes independentes das equações do sistema.

Observe o exemplo:

Utilizando a regra de Cramer, vamos encontrar a solução desse sistema:

{ 4x – y = 18
{ 6x + 4y = 38

Observe que

D = |4 – 1| = 16 – (- 6) 22 ≠ 0,
        |6  4|

logo podemos de fato utilizar a regra de Cramer.

Assim, podemos assumir que este sistema é possível e determinado.
Agora vamos calcular os valores de Dˣ e Dʸ

Dˣ = |18  -1| = 72 + 38 = 110
         |38  4|

Dˣ = |4  18| = 152 – 108 = 44
         |6  18|

Então, os valores de x e y são:

x = Dˣ /D = 110/22 = 5 

y = Dˣ/D = 44/22 = 2 

Assim, temos a solução do sistema S = {(5,2)}.

CASO 3X3

Agora vamos verificar o uso da regra de Cramer para o caso de um sistema 3×3.

Considerando o sistema de incógnitas x , y e z:

{ ax + by + cz = p
{ dx + ey + fz = q
{ gx + hy + iz = r

Seja M a matriz composta pelos coeficientes do sistema.
Assim, temos que o determinante de M é:

        [a     b   c]
M = [ d   e   f]
        [ g    h   i]

Se o det (M) = D for diferente de zero (D ≠ 0), temos que o sistema é possível de determinado. E podemos assim utilizar a regra de Cramer para encontrar a solução do sistema.

Assim, a solução (x, y, z) pode ser calculada por:

x = Dˣ/D , y = Dʸ/D    e  z = Dᶻ/D

em que Dˣ , Dʸ e Dᶻ são os determinantes das matrizes obtidas a partir da matriz M, substituindo a colunas dos coeficientes x, y e z, respectivamente, pela coluna dos coeficientes independentes das equações do sistema.

Observe o exemplo abaixo:

Vamos verificar se é possível utilizar a regra de Cramer, e encontrar a solução desse sistema:

{ x + y + z = 0
{ 2x – y + 3z = -9
{ x – 3y – z = – 2

Primeiramente, vamos calcular o determinante D da matriz incompleta do sistema:

        |1     1     1|
D = |2    -1   3| = 10
        | 1 – 3 – 1 |

Como D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a sua solução é dada por (x, y, z) que vamos calcular utilizando a regra de Cramer.

x = Dˣ/D ,    y = Dʸ/D    e  z = Dᶻ/D

Calculando o valor de Dx, Dy e Dz, temos:

          |0    1    1 |
Dx = |-9  -1   3| =  10
          |-2  -3 -1|

          |1    1    0|
Dz = |2 – 1 – 9| =  -30
         |1  -3  -2|

          |1    0    1|
Dy = |2  -9   3| = 20
          |1  -2   -1|

Segue que:

x = Dx/D = 10/10 = 1,

y = Dy/D = 20/10 = 2 

z = Dz/D = -30/10 = -3

OBSERVAÇÃO

Esta regra se aplica apenas para sistemas lineares nxn, em que o número de equações é igual ao número de incógnitas e o sistema for SPD.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

04. Resolva usando a regra de Cramer:

{ x + y – z = 0
{ x – y – 2z = 1
{ x + 2y + z = 4

Abaixo uma figura que representa a resolução

Temos:

x = Dx/D = -15/-3 = 5

y = Dy/D = 6/-3 = -2

z = Dz/D = -9/-3 = 3

S {(5, 2,3)}

• Se (D ≠ 0), então o sistema será possível edeterminado (SPD);

• Se (D = 0), o sistema poderá ser possível eindeterminado ou impossível:

– Se Dx = Dy = Dz = ⋅⋅⋅ = 0, o sistema será possível e indeterminado (SPI).

– Se pelo menos um dos outros determinantes (Dx ;Dy ; Dz …) é diferente de zero, então o sistema e impossível (SI).