Discussão de sistemas lineares
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CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que ele tem. Ele pode ser: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI).
SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)
É todo sistema linear que apresenta uma única solução.
Exemplo:
{ x + y = 10
{ x – y = 4
Esse sistema apresenta uma única solução que é o par (x,y), ou seja, x = 8 e y = 2.
Considere o sistema de equações a seguir:
{ ax + by = c
{ Ax + By = C
Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:
a/A ≠ b/B
– Uma única solução
– Retas concorrentes
SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)
É todo sistema linear que apresenta mais de uma solução.
Exemplo:
{ x + y = 5
{ 2x + 2y = 10
Esse sistema apresenta mais de uma solução: (5,0); (1,4); (3,2) etc.
OBSERVAÇÃO
Se um sistema linear admite mais de uma solução, então ele admite infinitas soluções.
Considere o sistema de equações a seguir:
{ ax + by = c
{ Ax + By = C
Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:
a/A = b/B = c/C
– Infinitas soluções
– Retas coincidentes
SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)
É todo sistema linear que não admite solução.
Exemplo:
{ x + y = 10
{ 2x + 2y = 13
Note que nenhuma solução da primeira equação é também solução da segunda.
Considere o sistema de equações a seguir:
{ ax + by = c
{ Ax + By = C
Dessa maneira, ao observar os coeficientes das incógnitas, podemos concluir que:
a/A = b/B ≠ c/C
– Nenhuma solução
– Retas paralelas
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Classifique os sistemas a seguir:
a) { 2x + 6y = 9
{ -3x – 9y = -11
b) Discutir o sistema { 2x – y = 10
{ – 2x + y = – 10
Resolução:
a) Relacionando os coeficientes das equações, temos:
2/-3 = 6/-9 ≠ 9/-11
Logo, o sistema é impossível.
b) Relacionando os coeficientes das equações, temos:
2/-2 = -1/1 = 10/-10
Logo, o sistema é possível indeterminado.
DISCUSSÃO DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A 2×2
Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, geralmente temos:
D ≠ 0 ⇒ SPD e D = 0 ⇒ SPI ou SI
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Quando o termo independente de cada uma de suas equações é igual a zero.
Exemplos:
{ x + 2y = 0 ou { x – y – 2z= 0
{ 2x – y = 0 { – x + y + z = 0
{ x – 2y + z = 0
Sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos:
D ≠ 0 ⇒ SPD e D = 0 ⇒ SPI
Todo sistema linear homogêneo é possível, pois admite no mínimo a solução trivial (0,0,0).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (UFJF-PISM) Considere o sistema dado pelas equações:
x – 3y + 4z = 3
2x – 5y + 10z = 8
x – y + (a² – 1)z = a + 10
a) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e determinado e encontre seu conjunto solução.
b) Determines o(s) valor(es) de a para que o sistema seja possível e indeterminado.
Resolução:
a) O sistema é possível e determinado se, e somente se,
Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, obtemos
Em consequência, o conjunto solução é
b) O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, a²– 9 = 0 e a + 3 = 0, isto é, se a = -3.
03. (UFPR) No processo de preparação de uma mistura, foi necessário estudar o sistema linear:
{ p + 2q + r = 3
{ 2p +3r = 8
{ p + 6p = 1
Nesse sistema, p, q e r representam as quantidades dos três elementos envolvidos na mistura.
a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema.
b) Resolva o sistema.
Resolução:
a) A matriz dos coeficientes do sistema é ( 1 2 1 ) Logo, seu determinante é igual a
( 2 0 3 )
( 1 6 0 )
( 1 2 1 )
( 2 0 3 ) = 6 + 12 – 18 = 0
( 1 6 0 )
b) Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, vem
Onde r = 2 + 4q e p = 1 – 6q. Observando que p, q e r são números reais não negativos, deve-se ter q ∈ [0 , 1/6 ]
Portanto, fazendo q = α, segue-se que o conjunto solução do sistema é { ( 1 – 6α, α, 2 + 4α); 0 < α < 1/6 }
04. (UFMG) Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y
{ 2x + 3y = 2
{ 6x + ay = 3
Observando-se que o coeficiente de y na segunda equação é um parâmetro a,
a) DETERMINE para quais valores de a o sistema tem solução.
b) DETERMINE as soluções x e y em função do parâmetro a, caso o sistema tenha solução.
c) DETERMINE todos os valores de a para os quais o sistema tenha como solução números inteiros x e y.
Resolução:
a) { 2x + 3y = 2
{ 6x + ay = 3
Multiplicando a primeira equação por –3 e somando os resultados com a segunda, temos a seguinte equação:
(a – 9)y = –3, que terá solução se, e somente se, a≠9
b) Do item (a), concluímos que y = 3/9 – a e que x = 2a – 9/2 .(a – 9)
c) x = i + 3y/2 o que nos leva a concluir que o valor de y deverá ser par, portanto y = 2.n, com n inteiro
3/9 – a = 2n ⤇ a = 18n – 3/2n, com n ∈ ℤ*
