Áreas de figuras planas: triângulos

ÁREAS DO TRIÂNGULO

Existem outras maneiras de calcular a área de um triângulo que são notáveis. Todas elas são consequência do cálculo da área convencional base.altura/2 .

TRIÂNGULO QUALQUER

A área de um triângulo é igual à metade do produto de dois lados adjacentes multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.

Demonstração:
Seja o triângulo ABC de lados AC = b e AB = c. 

Observemos que:

sen = h/b → h = b . senÂ

Portanto, substituindo a altura na fórmula da área obtemos o resultado acima.

TRIÂNGULO CIRCUNSCRITO AO CÍRCULO

Considere um triângulo ABC de perímetro a + b + c e o raio do círculo inscrito r, como na figura a seguir.

A área de ABC pode ser calculada por, Aᴬᴮᶜ = p . r, em que p = a + b + c/2 

Demonstração:

TRIÂNGULO INSCRITO NUM CÍRCULO DE RAIO R

Podemos também determinar a área de um triângulo ABC inscrito num círculo de raio R em função dos lados do triângulo e do raio.

Considere as medidas AB = c, AC = b, BC = a, o ângulo BÂC = αe o raio R do círculo circunscrito ao triângulo ABC.

Tracemos o diâmetro CP. Note que o ângulo BPC B C ˆ = = α Â , pois ambos são ângulos inscritos que subtendem um mesmo arco. Além disso, o triângulo BPC é retângulo em B, pois está inscrito num semicírculo. 

Já sabemos que Aᴬᴮᶜ = b . c . senÂ/2 e, no triângulo PCB, temos que sen = a/2R.

OBSERVAÇÃO

FÓRMULA DE HERON

Segundo a fórmula de Heron de Alexandria, é possível calcular a área de um triângulo sabendo apenas as medidas dos seus lados e não há necessidade da medida da altura para tal cálculo.

Dado um triângulo com os lados medindo a, b e c, é possível calcular sua área da seguinte forma:

Aᴬᴮᶜ = √p.(p – a) . (p – b) . (p – c) , sendo p = a + b + c/2

Exemplo:

Determine a área de um triângulo com lados medindo 6, 10 e 8.
Para resolver iremos usar a fórmula de Heron:

Sendo p = 6 + 8 + 10/2 = 24/2 = 12

A = √12.( 12 – 6) . (12 – 10) . (12 – 8) A = √12 . 6 . 2 . 4 = √576 = 24 

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

A área do triângulo equilátero é calculada por

Aʳ = L²√3/4

Demonstração:

Já sabemos que a altura do triângulo equilátero é h = L√3/2

Logo a sua área será dada por: 

HEXÁGONO REGULAR

Observemos que um hexágono regular pode ser dividido em 6
triângulos equiláteros.

Logo, temos que a área de um hexágono regular é 6 vezes a de um triângulo equilátero:

Aᴴᴱˣ = 6 . Aᵀ = 6 . L/²√3/4 = 3L²√3/2