Poliedros

DEFINIÇÃO

É um sólido formado pelo conjunto de quatro ou mais polígonos planos e convexos, onde dois polígonos não estão num mesmo plano e que tem dois a dois somente uma aresta em comum.

ELEMENTOS

• Faces: são os polígonos do poliedro.
• Arestas: são os lados dos polígonos das faces.
• Vértices: são os vértices dos polígonos das faces.
• Ângulos: são os ângulos dos polígonos das faces.

POLIEDROS CONVEXOS

Um poliedro convexo possui faces (polígonos convexos), arestas (lados dos polígonos) e vértices (vértices dos polígonos).

Na situação abaixo, temos um cubo, que é um exemplo de poliedro convexo. Perceba que nele não há nenhuma “concavidade”, ou seja, nenhuma das faces está “voltada para dentro” do poliedro.

Agora observe estes outros poliedros:

O poliedro não é convexo. E para ter certeza disso, iremos desenhar uma parte de um plano cortando o poliedro e que contenha uma de suas faces. É claro que iremos escolher umas das faces problemáticas para provar isso. E então perceba que o plano está “cortando” o interior do poliedro.

RELAÇÃO DE EULER

Para todo poliedro convexo é válida a relação abaixo:

V + F = A + 2

Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces de um poliedro.

Exemplo:

V = 8 ; F = 6 ; A = 12
V + F = A + 2 → 8 + 6 = 12 + 2 → 14 = 14

ÂNGULOS POLIÉDRICOS

A classificação do ângulo dependerá da quantidade de arestas que partem do vértice do ângulo indicado.

Exemplo:

A figura abaixo representa 3 arestas: ângulo triédrico

A figura abaixo representa 4 arestas: ângulo tetraédrico

a figura abaixo representa n arestas: ângulo poliédrico

CÁLCULO DO NÚMERO DE ARESTAS

Seja um poliedro convexo em que:

• F³ representa o número de faces triangulares;

• F⁴ representa o número de faces quadrangulares;

• F⁵ representa o número de faces pentagonais…

e assim sucessivamente.

Então F = F³ + F⁴ + F⁵ …+Fⁿ

Sendo cada aresta comum com as duas faces, teremos que:

2A = 3F³ + 4F⁴ + 5F⁵ … nFⁿ

A mesma relação podemos usar para os vértices.

• V³ representa o número de ângulos triédricos;

• V⁴ representa o número de ângulos tetraédricos;

• V⁵ representa o número de ângulos pentaédricos…

e assim sucessivamente.

Então V = V³ + V⁴+ V⁵…+ Vⁿ

Se cada aresta une dois vértices, temos:

2A = 3V³ + 4V⁴ + 5V⁵ + nVⁿ

SOMA DOS ÂNGULOS DE TODAS AS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO

Para calcular a soma de todos os ângulos das faces de um poliedro, temos:

Sᶠ = (v – 2) . 360°

Exemplo:

Calcule a soma dos ângulos da face do poliedro abaixo:

Sendo Sᶠ = (v – 2) . 360° e o número de vértices igual a 8, temos:

Sᶠ = (8 – 2 ) . 360° = 6 . 360° = 2 160°

E de fato podemos perceber que temos seis faces quadrangulares e a soma dos ângulos internos de cada face é 360°. Assim, a soma dos ângulos de todas as faces seria 6 . 360º.

POLIEDROS REGULARES

É chamado de poliedro regular se todas as faces são polígonos regulares, cada face tem o mesmo número de lados e cada vértice o mesmo número de arestas. Também são conhecidos como poliedros de Platão.

Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (UECE) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O número de arestas deste poliedro é

a) 100

b) 120

c) 90

d) 80

Resolução:

Sabendo que o poliedro possui 32 vértices, tem-se V = 32. Por conseguinte, sendo F e A, respectivamente, o número de
faces e o número de arestas, pelo Teorema de Euler, vem

V + F = A + 2 ⇔ 32 + F= A + 2 ⇔ F = A -30

Daí, como o poliedro possui apenas faces triangulares, temos 3F = 2A e, portanto,

3(A – 30) = 2A ⇔ A = 90

02. (ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.

Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?

a) 6

b) 8

c) 14

d) 24

e) 30

Resolução: C

Após os cortes, o poliedro P resultante é um sólido com 6 + 8 = 14 faces. Portanto, a resposta é 14.

03. (UFRGS 2008) As figuras a seguir representam um octaedro regular e uma de suas planificações.

Aos vértices A, B, E, F do octaedro correspondem, respectivamente, os pontos a, b, e, f da planificação. Ao vértice D do octaedro correspondem, na planificação, os pontos

a) m, n, p.

b) n, p, q.

c) p, q, r.

d) q, r, s.

e) r, s, m.

Resolução: D

Faces: EAD, EAB, EBC, ECD, FAB, FBC, FCD e FAD.