ONDAS ESTACIONÁRIAS
Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam em sentidos opostos, a superposição (interferência) entre as ondas produz uma onda estacionária.
Normalmente ocorre quando as ondas estão confinadas no espaço como ondas sonoras em um tubo fechado e ondas de uma corda com as extremidades fixas. Os pontos que não sofrem vibração são chamados de nós e a região de máximos e mínimos, com vibração intensa é chamada de ventre.
CORDAS VIBRANTES
Consideremos uma corda presa nas duas pontas e esticada.
Uma corda elástica esticada, como de um violão, possui frequências naturais de vibração, chamadas de modos de vibração ou harmônicos.
As figuras abaixo trazem os quatro primeiros harmônicos:
Sabendo o modo de vibração, podemos obter o comprimento da onda através do comprimento da corda.
Observe que para o primeiro harmônico ou harmônico fundamental (n = 1), temos:
Para o segundo, harmônico, temos:
No caso geral: como
, teremos:
Onde n é o número do harmônico.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (FGV) As figuras 1 e 2 representam a mesma corda de um instrumento musical percutida pelo músico e vibrando em situação estacionária.
De uma figura para outra, não houve variação na tensão da corda. Assim, é correto afirmar que, da figura 1 para a figura 2, ocorreu
a) um aumento na velocidade de propagação das ondas formadas na corda e também na velocidade de propagação do som emitido pelo instrumento.
b) um aumento no período de vibração das ondas na corda, mas uma diminuição na velocidade de propagação do som emitido pelo instrumento.
c) uma diminuição na frequência de vibração das ondas formadas na corda, sendo mantida a frequência de vibração do som emitido pelo instrumento.
d) uma diminuição no período de vibração das ondas formadas na corda e também na velocidade de propagação do som emitido pelo instrumento.
e) um aumento na frequência de vibração das ondas formadas na corda, sendo mantida a velocidade de propagação do som emitido pelo instrumento.
Resolução: E
Pelas figuras, temos que:
λ1 = 2λ2
Logo, mantendo a velocidade de propagação do som no instrumento:
v = λf
λ¹f¹ = λ²f²
2λ²f¹ = λ²f²
∴ f² = 2f¹
TUBOS SONOROS
Existem dois tipos de tubos sonoros: fechados (uma das extremidades fechada) e abertos (as duas extremidades abertas). Nos tubos sonoros, nas extremidade abertas o som reflete-se em fase, produzindo uma região de ventre de deslocamento, nas extremidades fechadas o som reflete-se com inversão de fase, produzindo uma região de nó de deslocamento. Instrumentos musicais como a flauta e o saxofone utilizam tubos sonoros como ressoadores. As figuras abaixo trazem os principais harmônicos dos tubos aberto e fechado.
TUBOS ABERTOS
Observe que para o primeiro harmônico ou harmônico fundamental (n = 1), temos:
Para o 2º harmônico, temos:
Para o 3º, teremos: e assim sucessivamente.
No caso geral: como
, teremos:
fn = n. v/2l
Onde n é o número do harmônico.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (UFRGS) Uma onda sonora propagando-se no ar é uma sucessão de compressões e rarefações da densidade do ar.
Na figura abaixo, estão representadas, esquematicamente, ondas sonoras estacionárias em dois tubos, 1 e 2, abertos em ambas as extremidades. Os comprimentos dos tubos 1 e 2 são, respectivamente, L e L/2.
Sendo λ¹ e λ² os respectivos comprimentos de onda das ondas representadas nos tubos 1 e 2, e f¹ e f² suas frequências, as razões entre os comprimentos de onda
λ¹/ λ² e as frequências f¹/f² são, nessa ordem,
a) 1 e 1.
b) 2 e 1.
c) 2 e 1/2.
d) 1/2 e 1.
e) 1/2 e 2.
Resolução: C
Percebe-se que ambos os tubos estão representando o 1º harmônico, assim cada um deles apresenta meio comprimento de onda. Assim, a razão entre os comprimentos dos tubos representa também a razão entre os comprimentos de onda.
λ¹ = L ∴ λ¹ = 2
λ² L/2 λ²
A razão entre as frequências é obtida através da equação fundamental que relaciona também velocidade de propagação e comprimentos de onda.
v = λ , f; v¹ = v²
λ¹ . f¹ = λ² . f² ⇒ f¹/f² = λ²/λ¹ ⇒ f¹/f² = (λ²/λ¹ )⁻¹ ∴ f¹/f² = 1/2
TUBOS FECHADOS
Observe que para o primeiro harmônico ou harmônico fundamental (n = 1), temos:
Para o 3º harmônico, temos:
Para o 5º, temos: e assim sucessivamente.
No caso geral: como
, teremos:
Onde n é o número do harmônio.
OBSERVAÇÃO
Só existem harmônicos ímpares em tubos fechados.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
03. (EFOMM) Um diapasão com frequência natural de 400 Hz é percutido na proximidade da borda de uma proveta graduada, perfeitamente cilíndrica, inicialmente cheia de água, mas que está sendo vagarosamente esvaziada por meio de uma pequena torneira na sua parte inferior. Observa-se que o volume do som do diapasão torna-se mais alto pela primeira vez quando a coluna de ar formada acima d’água atinge uma certa altura h. O valor de h, em centímetros, vale.
Dado: velocidade do som no ar Vsom = 320 m / s
a) 45
b) 36
c) 28
d) 20
e) 18
Resolução: D
Quando o volume do som do diapasão torna-se mais alto pela primeira vez, a coluna de água corresponde ao primeiro harmônico obtido na coluna de água.
Logo, de acordo com o desenho, a altura de líquido h é a quarta parte do comprimento da onda sonora.
h = λ/4 ∴ λ = 4h
E a expressão da velocidade da onda com a frequência e o comprimento de onda é dada por:
v = λ . f ⇒ v = 4 hf ∴ h = v/4f
h = 320 m / s ⇒ h = 0,2 m = 20cm
4.400Hz
04. (UNESP) Na geração da voz humana, a garganta e a cavidade oral agem como um tubo, com uma extremidade aproximadamente fechada na base da laringe, onde estão as cordas vocais, e uma extremidade aberta na boca. Nessas condições, sons são emitidos com maior intensidade nas frequências e comprimentos de ondas para as quais há um nó (N) na extremidade fechada e um ventre (V) na extremidade aberta, como ilustra a figura. As frequências geradas são chamadas harmônicos ou modos normais de vibração. Em um adulto, este tubo do trato vocal tem aproximadamente 17 cm. A voz normal de um adulto ocorre em frequências situadas aproximadamente entre o primeiro e o terceiro harmônicos.
Considerando que a velocidade do som no ar é 340 m/s, os valores aproximados, em hertz, das frequências dos três primeiros harmônicos da voz normal de um adulto são
a) 50, 150, 250.
b) 100, 300, 500.
c) 170, 510, 850.
d) 340, 1 020, 1 700.
e) 500, 1 500, 2 500.
Resolução: E
A figura abaixo representa o quinto harmônico junto com sua resolução:
