Estude com quem mais aprova. escolha um plano e faça parte dos milhares de alunos que são aprovados todos os anos com o Proenem
Pesquisar

Estude para o Enem totalmente grátis

Trigonometria – Lei dos Cossenos e Lei dos Senos

Trigonometria – Lei dos Cossenos e Lei dos Senos

Acabamos de estudar relações métricas que são aplicadas somente em triângulos retângulos. Nosso objetivo agora, é estudar relações métricas mais gerais, que podem ser aplicadas em qualquer triângulo.

LEI DOS COSSENOS

Demonstração:
1°caso: Suponha o ângulo  agudo.
Na figura, CD é altura relativa ao lado AB

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CAD

h² + m² = b² ⇒ h² = b² – m2 (I)

Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo CDB, temos:

a² = h² + (c – m)²

a² = h² + c² – 2 . c . m + m² (II)

Substituindo a equação (I) na (II) teremos:

a² = b² – m² + c² – 2 . c . m + m² 

a² = b² + c² – 2 . c . m (III)

Mas, no triângulo CAD, cos  = m/b ⇒ b cos Â.

Substituindo essa última igualdade na equação (III) teremos:

a² = b² + c² – 2 . b . c . cos Â

Como queríamos demonstrar.

2°caso: Suponha o ângulo  obtuso.
Na figura, CD é altura relativa ao lado AB.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CAD

h² + m² = b² ⇒ h² = b² – m² (I)

Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo CDB, temos:

a² = h² + (c + m)²
a² = h² + c² + 2 · c ·m + m² (II)

Substituindo a equação (I) na (II) teremos:

a² = b² – m² + c² + 2 · c · m + m²
a² = b² + c² + 2 · c · m (III)

Mas, no triângulo CAD , cos(180° – Â) = m/b ⇒ cos  = – m/b ⇒ m = – bcos Â.

Substituindo essa última igualdade na equação (III) teremos:

a²= b²+ c²– 2bc . cos Â

Como queríamos demonstrar.

Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

01. Determine o valor do cos α de acordo com a seguinte figura:

Resolução:
Aplicando a Lei dos cossenos, temos:
8²= 10²+ 12²– 2 · 10 · 12 · cosα
64 = 100 + 144 – 240 cosα
64 = 244 – 240 cosα
240cosα = 244 – 64
240cosα = 180

cos α = 180/240

cos a = 3/4 

02. Duas formigas partem de um mesmo ponto em linhas retas formando um ângulo de 120° como na figura. Enquanto uma delas percorre 3 metros parando em um ponto A, a outra percorre 4 metros parando em um ponto B, no mesmo intervalo de tempo.

Determine nesse a distância x entre elas.

Resolução:

Aplicando a Lei dos Cossenos, teremos:
x² = 3² + 4² – 2 . 3 . 4 . cos120° 

x² = 25 – 24 (-0,5) ⇒ x² = 25 + 12

x² = 37 ⇒ x = √37m

03. (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas.

Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.

Resolução:

Como a circunferência completa possui um arco em graus de 360º, o relógio a divide em 12 arcos congruentes de 30º cada. Considerando que às 4h o vértice do ângulo dos ponteiros forma um ângulo de 120º com o ponteiro das horas, temos:

Aplicando a Lei dos cossenos:

d² = 2² + 1² – 2 . 2 . 1 . cos120° 

d² = 4 + 1 – 4 . ( – 1/2) ⇒ d² = 4 + 1 + 2 

d² = 7 ⇒ d = √7m

LEI DOS SENOS

INTRODUÇÃO

O objetivo da trigonometria é a resolução completa de triângulos pelo cálculo. Observe o triângulo representado abaixo e todos os seus elementos.

Representamos os ângulos por letras maiúsculas: Â, ^B e ^C 

As medidas dos lados por letras minúsculas: a, b e c.

Todo triângulo é formado por esses seis elementos, que são chamados de elementos principais e um elemento secundário que é a área.

Resolver um triângulo é determinar os seus seis elementos principais por meio dos elementos conhecidos.

Neste capítulo estudaremos a Lei dos senos.

Demonstração:
1º caso: triângulos acutângulos.

O triângulo ABC abaixo está inscrito numa circunferência de raio R.

Considere um ponto D sobre a circunferência que circunscreve o triângulo, de tal modo que BD é um diâmetro, como na figura.

Traçamos o diâmetro BD. Observe que o ângulo  = BD/ = ^D

(Â e ^D são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo BCD é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro BD.

No triângulo retângulo BCD, temos:

Traçamos o diâmetro AE. Observe que o ângulo ^B = CA/2 = Ê

(^B e Ê são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo ACE é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro AE.

No triângulo retângulo ACE, temos:

Traçamos o diâmetro AF. Observe que o ângulo ^C = AB/2 = ^F 

(^C e ^F são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo ABF é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro AF.

No triângulo retângulo ABF, temos:

sen ^F = c/2R ⇒ sen ^C = c/2R ⇒ 2R = c/sen ^C

Assim, concluímos que  

Daí a lei dos senos:

Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é igual ao diâmetro da circunferência ao qual o triângulo está inscrito.

2° caso: triângulos obtusângulos.

Para completar a demonstração devemos fazer procedimento análogo ao feito no triângulo acutângulo.

A demonstração deixaremos a cargo do leitor.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

04. (UFSM) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a
distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância “d” é:

a) 50√2m

b) 50√6m/3

c) 50√3m

d) 25√6m

e) 50√6m

Resolução: A

Aplicando a Lei dos Senos teremos: 

d/sen135° = 50/sen30°

d/√2/2 = 50/1/2 

d = 50√2m.

05. (UFSM) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo mede 45° e o ângulo mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é:

a) 8√6/3

b) 4√6

c) 8√2 + √3

d) 8(√2 + √3) 

e) 2√6/3

Resolução:
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale sempre 180˚, podemos calcular o terceiro ângulo do triângulo dado:

A figura acima representa a resolução da questão cujo GABARITO É B.

Quer aquele empurrãozinho a mais para seu sucesso?

Baixe agora o Ebook DICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENEM, gratuitamente!

Precisando de ajuda?

Entre em contato agora

👋E aí, ProAluno! Em que posso te ajudar?
Central de Vendas Central do Aluno