Trigonometria – Lei dos Cossenos e Lei dos Senos
Acabamos de estudar relações métricas que são aplicadas somente em triângulos retângulos. Nosso objetivo agora, é estudar relações métricas mais gerais, que podem ser aplicadas em qualquer triângulo.
LEI DOS COSSENOS
Demonstração:
1°caso: Suponha o ângulo  agudo.
Na figura, CD é altura relativa ao lado AB
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CAD
h² + m² = b² ⇒ h² = b² – m2 (I)
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo CDB, temos:
a² = h² + (c – m)²
a² = h² + c² – 2 . c . m + m² (II)
Substituindo a equação (I) na (II) teremos:
a² = b² – m² + c² – 2 . c . m + m²
a² = b² + c² – 2 . c . m (III)
Mas, no triângulo CAD, cos  = m/b ⇒ b cos Â.
Substituindo essa última igualdade na equação (III) teremos:
a² = b² + c² – 2 . b . c . cos Â
Como queríamos demonstrar.
2°caso: Suponha o ângulo  obtuso.
Na figura, CD é altura relativa ao lado AB.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CAD
h² + m² = b² ⇒ h² = b² – m² (I)
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo CDB, temos:
a² = h² + (c + m)²
a² = h² + c² + 2 · c ·m + m² (II)
Substituindo a equação (I) na (II) teremos:
a² = b² – m² + c² + 2 · c · m + m²
a² = b² + c² + 2 · c · m (III)
Mas, no triângulo CAD , cos(180° – Â) = m/b ⇒ cos  = – m/b ⇒ m = – bcos Â.
Substituindo essa última igualdade na equação (III) teremos:
a²= b²+ c²– 2bc . cos Â
Como queríamos demonstrar.
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Determine o valor do cos α de acordo com a seguinte figura:
Resolução:
Aplicando a Lei dos cossenos, temos:
8²= 10²+ 12²– 2 · 10 · 12 · cosα
64 = 100 + 144 – 240 cosα
64 = 244 – 240 cosα
240cosα = 244 – 64
240cosα = 180
cos α = 180/240
cos a = 3/4
02. Duas formigas partem de um mesmo ponto em linhas retas formando um ângulo de 120° como na figura. Enquanto uma delas percorre 3 metros parando em um ponto A, a outra percorre 4 metros parando em um ponto B, no mesmo intervalo de tempo.
Determine nesse a distância x entre elas.
Resolução:
Aplicando a Lei dos Cossenos, teremos:
x² = 3² + 4² – 2 . 3 . 4 . cos120°
x² = 25 – 24 (-0,5) ⇒ x² = 25 + 12
x² = 37 ⇒ x = √37m
03. (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
Resolução:
Como a circunferência completa possui um arco em graus de 360º, o relógio a divide em 12 arcos congruentes de 30º cada. Considerando que às 4h o vértice do ângulo dos ponteiros forma um ângulo de 120º com o ponteiro das horas, temos:
Aplicando a Lei dos cossenos:
d² = 2² + 1² – 2 . 2 . 1 . cos120°
d² = 4 + 1 – 4 . ( – 1/2) ⇒ d² = 4 + 1 + 2
d² = 7 ⇒ d = √7m
LEI DOS SENOS
INTRODUÇÃO
O objetivo da trigonometria é a resolução completa de triângulos pelo cálculo. Observe o triângulo representado abaixo e todos os seus elementos.
Representamos os ângulos por letras maiúsculas: Â, ^B e ^C
As medidas dos lados por letras minúsculas: a, b e c.
Todo triângulo é formado por esses seis elementos, que são chamados de elementos principais e um elemento secundário que é a área.
Resolver um triângulo é determinar os seus seis elementos principais por meio dos elementos conhecidos.
Neste capítulo estudaremos a Lei dos senos.
Demonstração:
1º caso: triângulos acutângulos.
O triângulo ABC abaixo está inscrito numa circunferência de raio R.
Considere um ponto D sobre a circunferência que circunscreve o triângulo, de tal modo que BD é um diâmetro, como na figura.
Traçamos o diâmetro BD. Observe que o ângulo  = BD/ = ^D
(Â e ^D são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo BCD é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro BD.
No triângulo retângulo BCD, temos:
Traçamos o diâmetro AE. Observe que o ângulo ^B = CA/2 = Ê
(^B e Ê são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo ACE é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro AE.
No triângulo retângulo ACE, temos:
Traçamos o diâmetro AF. Observe que o ângulo ^C = AB/2 = ^F
(^C e ^F são ângulos inscritos sob o mesmo arco). Note que o triângulo ABF é retângulo (pois está inscrito numa semicircunferência) e sua hipotenusa é o diâmetro AF.
No triângulo retângulo ABF, temos:
sen ^F = c/2R ⇒ sen ^C = c/2R ⇒ 2R = c/sen ^C
Assim, concluímos que
Daí a lei dos senos:
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é igual ao diâmetro da circunferência ao qual o triângulo está inscrito.
2° caso: triângulos obtusângulos.
Para completar a demonstração devemos fazer procedimento análogo ao feito no triângulo acutângulo.
A demonstração deixaremos a cargo do leitor.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04. (UFSM) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a
distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância “d” é:
a) 50√2m
b) 50√6m/3
c) 50√3m
d) 25√6m
e) 50√6m
Resolução: A
Aplicando a Lei dos Senos teremos:
d/sen135° = 50/sen30°
d/√2/2 = 50/1/2
d = 50√2m.
05. (UFSM) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo mede 45° e o ângulo mede 75°. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é:
a) 8√6/3
b) 4√6
c) 8√2 + √3
d) 8(√2 + √3)
e) 2√6/3
Resolução:
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale sempre 180˚, podemos calcular o terceiro ângulo do triângulo dado:
A figura acima representa a resolução da questão cujo GABARITO É B.
