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Trigonometria – Funções trigonométricas (gráficos)

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Trigonometria – Funções trigonométricas (gráficos)

Aprenda mais sobre Trigonometria.

A FUNÇÃO SENO

O gráfico função seno é chamado de senóide e continua à direita de 2p e a esquerda de 0, observemos apenas um pequeno intervalo da função abaixo:

Para isso, será construído um círculo trigonométrico ao lado de um plano cartesiano com a unidade dos eixos igual à unidade do raio do círculo.

Observe a imagem abaixo:

Agora, será projetado no plano cartesiano e marcaremos o ponto (x,y), onde y = sen (x). Observe o exemplo abaixo: projetamos o seno do arco de medida igual a π/6 para o eixo Y do plano com a ordenada do ponto P’ e abscissa igual a π/6.

Assim, o ponto P’ pertence ao gráfico da função y = sen (x)

Agora, iremos realizar o mesmo processo para vários outros ângulos do círculo trigonométrico no gráfico.

Então, assumindo infinitos pontos, a direita de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfico.

Considerações:

O domínio da função $sen x$ é o conjunto dos números reais, isto é, $D=\mathbb{R}$ .

A imagem da função $senx$ é o intervalo $[-1,1]$ , isto é, $-1\leq senx\leq 1$ .

A partir de $2\pi$ a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica.

Note que função seno é Ímpar pois $senx=-sen(-x)$ .

A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma:

$f(x)=p+q\cdot sen(ax+b)$

Domínio: $\mathbb{R}$

Imagem: $[p-q,p+q]$

Período: $\frac{2\pi}{\left | a \right |}$

Exercício Resolvido

01. Determine o período das funções abaixo:

A) $y=sen8x$

Solução:

Período = $\frac{2\pi}{\left | a \right |}$ e nesse caso, $a=8$ portanto o período é $\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$ .

B) $y=5sen10x$

Solução:

Período = $\frac{2\pi}{\left | a \right |}$ e nesse caso, $a=10$ portanto o período é $\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}$ .

C) $y=sen\frac{x}{3}$

Solução:

Período = $\\frac{2\\pi}{\\left$ e nesse caso, $a=\frac{1}{3}$ portanto o período é $\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}=6\pi$ .

D) $y=sen\left ( 4x+\frac{\pi}{3} \right )$

Solução:

Período = $\frac{2\pi}{\left | a \right |}$ e nesse caso, $a=4$ portanto o período é $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ .

02. Dada a função $f(x)=7sen(3x)$ , responda:

A) Qual a imagem de $f$ ?

Solução:

Usando como base a função $f(x)=p+q\\cdot$ , podemos perceber que $p=0$ e $q=7$ .

Dessa forma, temos:

$p+q=7$ e $p-q=-7$

Logo a imagem da função é o intervalo $[-7,7]$ .

B) A função é par ou ímpar?

Solução:

A função é ímpar pois trata-se de uma função seno.

A FUNÇÃO COSSENO

O gráfico da função cosseno é formado por uma cossenoide.

Neste tópico, estudaremos a construção do gráfico y = cos x, utilizando o método geométrico para tal processo.

O processo aplicado aqui é semelhante ao realizado para a obtenção do gráfico do seno.

É possível perceber que para um determinado ângulo α, os segmentos indicados em verde na imagem tem o mesmo comprimento, pois y = cos x.

No desenho também já é possível observar todo o gráfico do cosseno construído.

Então, assumindo infinitos pontos, a direita de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfico.

Considerações:

O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais, isto é, $D=\mathbb{R}$ .

A imagem da função cos x é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 < cos x < 1.

A partir de $2\pi$ a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica.

Note que função seno é par pois cos x = cos (-x) .

A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma:

f(x) – p + q . cos (ax + b)

Domínio: $R$

Imagem: $[p-q,p+q]$

Período: $\frac{2\pi}{\left | a \right |}$

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. Sabendo que o conjunto imagem e o período da função valem, respectivamente, $[-1,5]$ e $\frac{\pi}{6}$ rad, calcule os valores positivos de p, q e a.

Resolução:

Sabemos que o período da função cosseno é dado por $\\frac{2\\pi}{\\left$ como estamos buscando apenas os valores positivos temos que $a=12$ .

Os extremos da imagem são $p+q$ e $p-q$ , como a imagem é dada por $[-1,5]$ e p e q são positivos fazemos $p-q=-1$ e $p+q=5$ . Resolvendo o sistema obtemos p = 2 e q = 3.

Esboçando o gráfico da função $y=2+3cos12x$ , obtemos:

A FUNÇÃO TANGENTE

O gráfico da função tangente é formado por uma tangentoide.

Neste tópico, estudaremos a construção do gráfico y = tg x, utilizando o método geométrico para tal processo.

O processo aplicado aqui é semelhante ao realizado para a obtenção dos gráficos do seno e cosseno.

É possível perceber que para um determinado ângulo α , os segmentos indicados em verde na imagem tem o mesmo
comprimento, pois y = tg x.

Já com o gráfico completo, observe que nos ângulos π/2 e 3π/2 a tangente não existe. Tal situação ocorre porque o ângulo de 90° no ciclo trigonométrico não atinge o eixo da tangente, pois são paralelos entre sim. O mesmo se repete para o ângulo de 270°.

Então, assumindo infinitos pontos, a direito de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfico.