Estude com quem mais aprova. escolha um plano e faça parte dos milhares de alunos que são aprovados todos os anos com o Proenem
Pesquisar

Estude para o Enem totalmente grátis

Trigonometria – Funções trigonométricas (gráficos)

Trigonometria – Funções trigonométricas (gráficos)

Aprenda mais sobre Trigonometria. 

A FUNÇÃO SENO

O gráfico função seno é chamado de senóide e continua à direita de 2p e a esquerda de 0, observemos apenas um pequeno intervalo da função abaixo:

Para isso, será construído um círculo trigonométrico ao lado de um plano cartesiano com a unidade dos eixos igual à unidade do raio do círculo.

Observe a imagem abaixo:

Agora, será projetado no plano cartesiano e marcaremos o ponto (x,y), onde y = sen (x). Observe o exemplo abaixo: projetamos o seno do arco de medida igual a π/6  para o eixo Y do plano com a  ordenada do ponto P’ e abscissa igual a π/6.

Assim, o ponto P’ pertence ao gráfico da função y = sen (x)

Agora, iremos realizar o mesmo processo para vários outros ângulos do círculo trigonométrico no gráfico.

Então, assumindo infinitos pontos, a direita de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfico.

Considerações:

O domínio da função  é o conjunto dos números reais, isto é, .

A imagem da função  é o intervalo , isto é, .

A partir de  a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica.

Note que função seno é Ímpar pois .

A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma:

Domínio: 

Imagem: 

Período

Exercício Resolvido 

01. Determine o período das funções abaixo:

A) 

Solução:

Período =  e nesse caso,  portanto o período é .

B)

Solução:

Período =  e nesse caso,  portanto o período é .

C) 

Solução:

Período = \\frac{2\\pi}{\\left e nesse caso,  portanto o período é .

D) 

Solução:

Período =  e nesse caso,  portanto o período é .

02. Dada a função , responda:

A) Qual a imagem de ?

Solução:

Usando como base a função f(x)=p+q\\cdot, podemos perceber que  e .

Dessa forma, temos:

 e

Logo a imagem da função é o intervalo .

B) A função é par ou ímpar?

Solução:

A função é ímpar pois trata-se de uma função seno.

A FUNÇÃO COSSENO

O gráfico da função cosseno é formado por uma cossenoide.

Neste tópico, estudaremos a construção do gráfico y = cos x, utilizando o método geométrico para tal processo.

O processo aplicado aqui é semelhante ao realizado para a obtenção do gráfico do seno.

É possível perceber que para um determinado ângulo α, os segmentos indicados em verde na imagem tem o mesmo comprimento, pois y = cos x.

No desenho também já é possível observar todo o gráfico do cosseno construído.

Então, assumindo infinitos pontos, a direita de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfico.

Considerações:

O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais, isto é, .

A imagem da função cos x é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 < cos x < 1. 

A partir de  a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica.

Note que função seno é par pois cos x = cos (-x) .

A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma:

f(x) – p + q . cos (ax + b)

Domínio:

Imagem: 

Período:

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

1. Sabendo que o conjunto imagem e o período da função  valem, respectivamente,  e  rad, calcule os valores positivos de p, q e a.

Resolução:

Sabemos que o período da função cosseno é dado por \\frac{2\\pi}{\\left como estamos buscando apenas os valores positivos temos que .

Os extremos da imagem são  e , como a imagem é dada por  e p e q são positivos fazemos  e . Resolvendo o sistema obtemos p = 2 e q = 3.

Esboçando o gráfico da função , obtemos:

A FUNÇÃO TANGENTE

O gráfico da função tangente é formado por uma tangentoide.

Neste tópico, estudaremos a construção do gráfico y = tg x, utilizando o método geométrico para tal processo.

O processo aplicado aqui é semelhante ao realizado para a obtenção dos gráficos do seno e cosseno.

É possível perceber que para um determinado ângulo α , os segmentos indicados em verde na imagem tem o mesmo
comprimento, pois y = tg x.

Já com o gráfico completo, observe que nos ângulos π/2 e 3π/2 a tangente não existe. Tal situação ocorre porque o ângulo de 90° no ciclo trigonométrico não atinge o eixo da tangente, pois são paralelos entre sim. O mesmo se repete para o ângulo de 270°.

Então, assumindo infinitos pontos, a direito de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfico.

Considerações:

O domínio da função   é o conjunto  com .

A imagem da função   é o intervalo  isto é, o próprio conjunto

A partir de  a função repetirá os seus valores (como observamos na figura)  pois é uma função periódica.

Note que função tangente é ímpar pois .

A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da seguinte forma:

Domínio: 

Imagem: 

Período: 

Função Ímpar

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

01. Determine o período das funções abaixo:

A)

Resolução:

Sabemos que o período da função tangente é dado por .

B) 

Resolução:

Sabemos que o período da função tangente é dado por  .

02. Determine o domínio das seguintes funções:

A) 

Resolução:

 não pode ser igual a .

B) 

Resolução:

 não pode ser igual a



Quer aquele empurrãozinho a mais para seu sucesso?

Baixe agora o Ebook DICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENEM, gratuitamente!

Precisando de ajuda?

Entre em contato agora

👋E aí, ProAluno! Em que posso te ajudar?
Central de Vendas Central do Aluno