Círculos e Circunferências

INTRODUÇÃO

Circunferência: Considere um ponto O em um plano e uma distância r. Chamamos de circunferência de raio r o conjunto de todos os pontos desse plano, que estão a uma distância r do ponto O.

Círculo: é o conjunto de todos os pontos internos de uma circunferência.

Um exemplo de círculo e circunferência é a pizza: a borda da pizza seria uma circunferência e a pizza toda seria um círculo.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

OB um raio

AB é uma corda

BC é um diâmetro

A região S₁ é um setor circular

A região S₂ é um segmento circular

A linha curva AC é chamada de arco de circunferência.

BC é uma semicircunferência.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Considere uma circunferência de raio r, e seja d a distância da reta ao centro da circunferência. Temos três situações possíveis, como é mostrado nas figuras a seguir.

A reta secante intercepta a circunferência em dois pontos.

• A reta tangente intercepta a circunferência em apenas um ponto.

• A reta exterior não tem ponto em comum com a circunferência.

Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência ( t  ⊥ OT ).

TEOREMA DAS TANGENTES

Considere duas tangentes a circunferência traçadas de um ponto P exterior, como na figura.

Pela congruência dos triângulos PAO e PBO, teremos:

PA = PB

TEOREMA DE PITOT (QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL)

Um quadrilátero convexo é circunscritível a uma circunferência se, e somente se, a soma de dois lados opostos seja igual a soma dos outros dois.

Na figura,  AB + CD = BC + AD.

Demonstração:

Provaremos que se o quadrilátero convexo é circunscritível, então a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois.  (Ficará como exercício provar a recíproca, isto é, provar que se a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois, então o quadrilátero convexo é circunscritível).

Para isso, chamemos  AH = x, BE = y,  CF = z e DG = w

Pelo o Teorema de tangentes, sabemos que tangentes que partem de um mesmo ponto possuem a mesma medida.

Assim, AH = AE = x, BE = BF = y, CF = CG = z e DG = DH = w.

Somando os lados opostos teremos.

AB + CD = x + y + z + w e BC + AD = y + z + x + w = x + y + z + w.

Logo,  AB + CD = BC + AD.

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Nosso objetivo aqui será abordar algumas relações angulares importantes envolvendo circunferências.

ÂNGULO CENTRAL

É o ângulo que tem como vértice o centro da circunferência. O ângulo central terá a mesma medida do arco que ele subtende.

Exemplo:

Note que, o ângulo central AÔB = AB = 50°.

Da mesma forma, o ângulo central CÔD = CD = 140°.

ÂNGULO INSCRITO

É o ângulo que possui o vértice na circunferência, e seus lados são secantes a ela. A medida do ângulo inscrito é a metade do ângulo central.

Demonstração:

A demonstração desse resultado deve ser feita considerando três casos. Quando o centro da circunferência é interior ao ângulo, quando o centro da circunferência pertence a um dos lados do ângulo, e quando o centro da circunferência é exterior ao ângulo. Faremos o primeiro caso e deixaremos os outros como exercício.

Para isso, na figura basta mostrar que:

De fato, traçando os segmentos como na figura, temos pelo teorema do ângulo externo no triângulo AVO que AÔP = 2 . AVO. Da mesma forma BÔP = 2 . BVO.

Das duas últimas igualdades, temos AÔB = AÔP + BÔP = 2 . AVO + 2 . BVO = 2 . AVB.

Exemplo:

Na figura, AV e BV  são arcos tais que AV = 120°  e BV = 140°.

Calcule a medida do ângulo.

Resolução:

Como na circunferência a volta completa corresponde a um arco de 360°, temos

120° + 140° + AB = 360°

AB = 100°

Como α é ângulo inscrito, segue que  .

Observação

O ângulo inscrito numa semicircunferência sempre mede 90°

Isso porque se  é um diâmetro, o arco  mede 180°. Como o ângulo inscrito mede metade do arco, a metade de 180° é 90°

ÂNGULO DE SEGMENTO (OU ÂNGULO SEMI-INSCRITO)

É um ângulo que possui um vértice na circunferência, um lado secante e o outro tangente à circunferência.

Assim como no ângulo inscrito, a medida de um ângulo segmento é metade da medida do arco correspondente.

ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR

É o ângulo formado por duas secantes que se cruzam no interior da circunferência, distinto do centro.

Na figura temos:

Exemplo:

Calcule a medida do ângulo α na figura.

Resolução:

ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR

É o ângulo formado por duas secantes que se cruzam no exterior da circunferência.

Exemplo:

Calcule a medida do ângulo na figura.

Resolução

QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL

Um quadrilátero convexo é inscritível em uma circunferência se, e somente, a soma dos ângulos opostos é 180°

Na figura, Â + C^=180° e B^+ D^ = 180°

Demonstração:

Provaremos que se o quadrilátero convexo é inscritível, então a soma dos ângulos opostos é 180°. (Ficará como exercício provar a recíproca, isto é, provar que se a soma dos ângulos opostos é 180°, então o quadrilátero convexo é inscritível).

Na figura, A e C são ângulos inscritos na circunferência, logo medem a metade do arco correspondente. Dessa forma,  

Somando esses ângulos obteremos,

Como queríamos demonstrar.

De modo inteiramente análogo, mostra-se que  B^ + D^ = 180°.

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

Iremos separar as relações que envolvem segmentos e uma circunferência em três casos.

1º CASO

Quando duas cordas se encontram no interior da circunferência.

Nesse caso, como na figura, vale a seguinte igualdade:

Demonstração:

Note que  ACP = DBP, pois são ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco

Da mesma forma:

CÂP = BDP. Assim, os triângulos ACP e DBP são semelhantes.

Logo,  

Como queríamos demonstrar.

Exemplo:

Calcule x na figura.

Sabemos que  PA . PB  = PC . PD , logo 2 . x = 6 . 4.

x = 12

2º CASO

Quando dois segmentos secantes se encontram em um ponto exterior a circunferência.

Nesse caso, como na figura, vale a seguinte igualdade:

Demonstração:

Note que os triângulos PBC e PDA são semelhantes.

De fato, repare que PBC = PDA, pois são ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco. Além disso, BPD é ângulo comum aos triângulos.

Assim, pela semelhança entre os triângulos temos que:

, portanto temos que  .

Como queríamos demonstrar.

Exemplo:

Calcule x na figura.

Sabemos que  PA.PB  =  PC.PD , logo:

4 . (x + 4) = 5 . 8

4 . (x + 4) = 40

4x + 16 = 40

4x = 24

x = 6

3º CASO

Quando dois segmentos se encontram em um ponto exterior a circunferência, sendo um deles secante e o outro tangente.

Nesse caso, como na figura, vale a seguinte igualdade.

Demonstração:

Note que os triângulos PBT e PTA são semelhantes.

De fato, repare que PBT = ABT, e ATB é um ângulo inscrito que subtende o arco ABT, logo  ABT  é metade do arco AT.

Por outro lado, ATP é um ângulo de segmento que subtende o arco AT, logo  ATP  é metade do arco AT.

Além disso, APT é ângulo comum aos triângulos, a

Além disso, APT é ângulo comum aos triângulos, assim, pela semelhança entre os triângulos, temos que:

PT/PB = PA/PT , em que PT²= PA . PB 

Exemplos:

Calcule o valor de x na figura.

Sabemos que PT² = PA . PB , logo

x² = 2 . 8

x² = 16

x = 4 

COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Em qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é constante. Essa constante chamamos de π.

Sendo C o comprimento da circunferência e D o seu diâmetro, e lembrando que D = 2R, teremos:

C/D = π

C = D . π

Ou seja, o comprimento de qualquer circunferência de raio R é dada por C = 2 π R.

O símbolo π representa um número irracional que vale aproximadamente 3,141592…

Isto é, π ≅ 3,141592

Exemplo:

Calcule o comprimento de uma tampa circular de raio 10 cm.

Sabemos que o comprimento da circunferência é dado por C = 2 πR, como o raio mede 10 cm, teremos:

C = 2 π R
C = 2 π . 10
C = 20 π cm

OBSERVAÇÃO

No exercício anterior, deixamos a resposta em função de π, isto é, deixamos a resposta com π. Sabemos que
π ≅ 3,141592 mas não iremos substituir. Em geral, só substituímos o valor de π quando precisarmos do valor
aproximado do comprimento, ou caso o exercício diga para fazermos a substituição.

COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

O comprimento de um arco de circunferência de raio R, correspondente a um ângulo θ (em graus) é dado por:

De fato, o comprimento de uma circunferência é relativo a uma volta completa, isto é 360°. O comprimento de um arco é relativo ao ângulo correspondente θ. Assim teremos:

2 π R → 360°

l → θ
Daí, 360ºl = 2 πR . θ

l = 2πR . θ/360° 

com o ângulo θ dado em graus.

Exemplo:

Calcule o comprimento do arco da figura.

Como foi visto anteriormente, podemos calcular através da proporção existente, ou aplicando a fórmula. Nesse exemplo, R = 12 cm e θ = 60°. Substituindo teremos:

ℓ = 2πR . θ/360° 

ℓ = 2π . 12 . 60°/360°

ℓ = 4πcm 

RADIANO (RAD)

Radiano é uma unidade de medida para ângulo. Define-se um ângulo θ = 1 radiano como o ângulo central que subtende um arco (ℓ) de mesmo comprimento que o raio (R).

Na figura, o comprimento ℓ = R, logo θ = 1 rad.

A MEDIDA ANGULAR DE UMA VOLTA NA CIRCUNFERÊNCIA EM RADIANOS

Sabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 360°. Mas quantos radianos representa uma volta completa?

Pela definição que apresentamos anteriormente, temos que um ângulo mede um radiano quando o arco correspondente tem a mesma medida do raio.

Dessa forma, temos a seguinte relação: o comprimento da circunferência, 2pR está para 360°, assim como um arco de medida R está para um ângulo de 1 rad. Como são grandezas diretamente proporcionais, por meio de uma regra de três teremos:

2πR → 360°
R → 1 rad
Daí, 2πR . 1 rad = 360° . R
2π rad = 360°
E fazendo a proporção, teremos que meia volta
corresponde a π rad, isto é:
π rad = 180°

Como π ≅ 3,14 , podemos escrever que 3,14 rad ≅ 180°

Exemplo:

Determinar a medida em radianos, equivalente a 120°.

Resolução:

Sabemos que π rad = 180°. Faremos então uma regra de três para determinarmos qual ângulo em radianos é equivalente a 120°.

π rad → 180°
x rad → 120°

Daí,
180x = 120 p

X = 120π/180 = 2π/3 rad 

Isto é, descobrimos que 120° = 2π/3 rad. 

Exemplo:

Determinar a medida em graus, equivalente a 3π/4 rad.

Resolução:

Quando o problema é converter radiano para grau, podemos fazer mais rapidamente. Já sabemos que π rad = 180°. Substituindo teremos:

3π/4 = 3.180°/4 = 540/4 = 135° 

Isto é, descobrimos que 3π/4 rad = 135° 

Como calcular o comprimento do arco quando o ângulo é dado em radianos?

Exemplo:

Vamos calcular o comprimento do arco ℓ da figura.

Resolução:

Nós já sabemos que o comprimento de um arco (ℓ) que subtende um ângulo θ (em graus) em uma circunferência de raio R é dado por ℓ = 2πR.θ/360°

Essa fórmula só pode ser usada para ângulos em graus. Como nesse exercício o ângulo foi dado em radiano, vamos então converter o ângulo que está em radiano para grau, para poder usarmos a fórmula que nós temos.

π → 180°

π/4 → θ 

θ = 180°/4 = 45° 

Agora sim, com o ângulo em graus, substituindo na fórmula teremos:

l = 2πR.θ/360°

l = 2π . 20 . 45°/360°

l = 5π cm

Bem, conseguimos resolver esse exemplo adaptando o ângulo para aplicar a fórmula. É importante lembrar que também poderíamos ter resolvido esse exemplo sem fórmula, simplesmente usando uma regra de três.

Além disso, note que, o que foi feito nesse exemplo foi adaptar o ângulo para aplicar a fórmula. Mas será que poderíamos adaptar a fórmula para usar o ângulo em radiano? A resposta é sim! E é o que faremos a seguir.

Outra resolução:

Vamos agora, adaptar a fórmula para quando o ângulo é dado em radiano.

Para o ângulo θ em radiano, sabemos que 360° = 2π rad, substituindo teremos:

l = 2πR.θ/360° = 2πR.θ/2π = R . θ

Assim, para o ângulo θ em radiano, o comprimento do arco é dado por l = R . θ

Com essa relação poderíamos ter calculado direto o comprimento, substituindo R = 20 cm e θ = π/4 rad.

Daí, l = R . θ = 20. π/4 = 5πcm.

A vantagem em utilizar esse método é quando o ângulo for apresentado em radiano.

OBSERVAÇÃO

O radiano é uma medida angular pouquíssimo usada em geometria. Mas no estudo da Trigonometria, o radiano será de extrema importância.