Equações Incompletas e Completas e Soma e Produto das Raízes
Aprenda mais sobre as Funções de 2° Grau.
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Equação do 2o
grau em ℝ é toda igualdade do tipo ax² + bx + c = 0
ou redutível a esse tipo, em que a, b e c ∈ ℝ e a ≠ 0 .
Resolução do caso geral (b ≠ 0 e c ≠ 0).
ax² + bx + c = 0
ax²/a = bx/a + c/a = 0
x² + bx/a + c/a = 0
x² + bx/a = – c/a
Completando quadrados, temos:
x² + bx/a + b²/ 4a² = – c/a + b²/4a²
Escrevendo na forma fatorada:
(x + b/2a)² = – c/a + b²/4a²
Igualando os denominadores:
(x + b/2a)² = – 4ac/4a² + b²/4a²
(x + b/2a)² = -4ac + b²/4a²
Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:
√(x + b/2a)² = √-4ac + b²/√4a²
A figura abaixo representa o momento que resolvendo as raízes, o resultado encontrado será:
Chamaremos de discriminante a expressão b² – 4ac, não para que a expressão fique mais simpática mas pela importância dessa parte da solução. Substituiremos essa parte da fórmula pela letra grega ∆ (delta) e obter:
x = -b + √∆/2a
Discriminante: ∆ = b² – 4ac
Fórmula de Bhaskara
x = -b + √∆/2a
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Determine as raízes da equação: x² – 5 x – 14 = 0
Solução:
∆= (b²–4ac)
∆ = (–5)–4·(1)·(-14)
∆= 25 + 56
∆= 81
x = -b + √∆/2a
x = -(-5) + √81/2 . 1
x = 5 + √81/2
x = 5 + 9/2
Então temos:
X¹ = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7
X² = (5 + 9)/2 = -4/2 -2
S = { – 2, 7}
02. Determine as raízes da equação: 2x² + 20x + 50 = 0
Solução:
∆ = (b²–4ac)
∆= (20)²–4·(12)·(50)
∆= 400 – 400
∆ = 0
x = -b + √∆/2a
x = -(20) + √0/2.2
x = -20 + √0/4
x = -20 + 0/4
Então, temos:
X¹ = (-20 + 0)/4 = -20/4 – 5
X² = (-20 – 0)/4 = -20/4 = – 5
S = {-5}
03. Determine as raízes da equação – x² +10x – 30 = 0.
∆ = (b² – 4ac)
∆ = (10²) – 4.(-1).(-30)
∆ = 100 – 120
∆ = -20
x = -b + √∆/2a
x = -(10) + √(-20)/2 . (-1)
Não existe raiz quadrada real de número negativo, portanto não é possível resolver a equação.
Logo,
S = { }.
OBSERVAÇÃO
• ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas.
• ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais.
• ∆ < 0, a equação não terá raízes reais.
EQUAÇÕES INCOMPLETAS
1° Caso (b = 0 e c ≠ 0)
Teremos a forma: ax² + c = 0
• duas raízes simétricas.
• a soma das raízes é nula
Exemplo:
x²- 16 = 0 → x²= 16 → x = + 4
OBSERVAÇÃO
√9 = ? ≠ x² = 9
Qual é a raiz de nove?
R: É três!!!!
Quem elevado ao quadrado tem resultado 9?
R: Temos que levar em consideração que um número elevado a um expoente par tem resultado positivo, logo, pode ser tanto o +3 quanto o –3.
2° Caso (b ≠ 0 e c = 0)
Teremos a forma: ax² + bx = 0
• uma raiz igual a zero.
• o produto das raízes é nulo.
Exemplo:
x²– 5x = 0 → x(x – 5) = 0 → x = 0 ou x = 5.
3° Caso (b = 0 e c = 0)
Exemplo:
x²= 0 → x = + 0 → x = 0.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
04. Determine as raizes abaixo:
a) x² – 25 = 0
b) – x² + 81 = 0
c) x² – 10x = 0
d) 2x² + 8x = 0
Resolução:
a) x² – 25 = 0
x² = 25
x = ±5
b) – x² + 81 = 0
X² = 81
X = ±9
c) x² – 10x = 0
x(x – 10) = 0
x = 0 ou x – 10 = 0
x = 0 ou x = 10
d) 2x² + 8x = 0
2x(x + 4) = 0
2x = 0 ou x + 4 = 0
x = 0 ou x = – 4
SOMA E PRODUTO DE RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Se e
são as raízes da equação
, então:
A) Soma das raízes (S)
B) Produto das raízes (P)
Aplicando o produto notável “produto da soma pela diferença”, temos diferença de dois quadrados.
FORMA FATORADA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
A forma fatorada da equação do segundo grau é utilizada quando a questão fornece 2 raízes e mais um ponto qualquer da equação.
, em que
e
são as raízes da equação
.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
05.Escreva na forma fatorada a equação x²– 11x + 30 = 0.
Resolução:
Calculando as raízes da equação x²– 11x + 30 = 0, obtemos x¹ = 5 e x²= 6.
Sendo a = 1, x¹= 5 e x² = 6, a forma fatorada de x²– 11x + 30 = 0 pode ser assim escrita: (x – 5) · (x – 6) = 0
06. Escreva na forma fatorada a equação 3x² – 30x + 150 = 0.
Resolução:
Calculando as raízes da equação 3x²– 30x + 150 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. Sendo a = 3, x¹
= x² = 5, a forma fatorada de 3x² – 30x + 150 = 0 pode ser assim escrita:
3 · (x – 5) (x – 5) = 0 ou 3 · (x – 5)² =0
07. Escreva na forma fatorada a equação x² + 4x + 8 = 0.
Resolução:
Como o ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.
Logo, essa equação não possui forma fatorada em ℝ.
