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Equações Incompletas e Completas e Soma e Produto das Raízes

Equações Incompletas e Completas e Soma e Produto das Raízes

Aprenda mais sobre as Funções de 2° Grau. 

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Equação do 2o
grau em ℝ é toda igualdade do tipo ax² + bx + c = 0
ou redutível a esse tipo, em que a, b e c  ∈ ℝ e a ≠ 0 .

Resolução do caso geral (b ≠ 0 e c ≠ 0).

ax² +  bx  + c = 0

ax²/a  = bx/a + c/a = 0

x² + bx/a + c/a = 0

x² + bx/a = – c/a

Completando quadrados, temos:

x² + bx/a + b²/ 4a² = – c/a + b²/4a²

Escrevendo na forma fatorada:

(x + b/2a)² = – c/a + b²/4a²

Igualando os denominadores:

(x + b/2a)² = – 4ac/4a² + b²/4a²

(x + b/2a)² = -4ac + b²/4a²

Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:

√(x + b/2a)² = √-4ac + b²/√4a²

A figura abaixo representa o momento que resolvendo as raízes, o resultado encontrado será:

Chamaremos de discriminante a expressão b² – 4ac, não para que a expressão fique mais simpática mas pela importância dessa parte da solução. Substituiremos essa parte da fórmula pela letra grega ∆ (delta) e obter:

x = -b + √∆/2a

Discriminante: ∆ = b² – 4ac

Fórmula de Bhaskara

x = -b + √∆/2a

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

01. Determine as raízes da equação: x² – 5 x – 14 = 0

Solução:

∆= (b²–4ac)

∆ = (–5)–4·(1)·(-14)

∆= 25 + 56

∆= 81

x = -b + √∆/2a

x = -(-5) √81/2 . 1

x = 5 + √81/2

x = 5 + 9/2 

Então temos:

X¹ = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7

X² = (5 + 9)/2 = -4/2 -2

S = { – 2, 7} 

02. Determine as raízes da equação: 2x² + 20x + 50 = 0

Solução:

∆ = (b²–4ac)

∆= (20)²–4·(12)·(50)

∆= 400 – 400

∆ = 0

x = -b + √∆/2a 

x = -(20) √0/2.2 

x = -20 + √0/4 

x = -20 + 0/4 

Então, temos:

X¹ = (-20 + 0)/4 = -20/4 – 5

X² = (-20 – 0)/4 = -20/4 = – 5

S = {-5}

03. Determine as raízes da equação – x² +10x – 30 = 0.

∆ = (b² – 4ac) 

∆ = (10²) – 4.(-1).(-30)

∆ = 100 – 120

∆ = -20

x = -b + √∆/2a 

x = -(10) √(-20)/2 . (-1)

Não existe raiz quadrada real de número negativo, portanto não é possível resolver a equação.

Logo,
S = { }.

OBSERVAÇÃO

• ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas.
• ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais.
• ∆ < 0, a equação não terá raízes reais.

EQUAÇÕES INCOMPLETAS

1° Caso (b = 0 e c ≠ 0)

Teremos a forma: ax² + c = 0
• duas raízes simétricas.
• a soma das raízes é nula

Exemplo:
x²- 16 = 0 → x²= 16 → x = + 4

OBSERVAÇÃO

√9 = ? ≠ x² = 9

Qual é a raiz de nove?

R: É três!!!!

Quem elevado ao quadrado tem resultado 9?

R: Temos que levar em consideração que um número elevado a um expoente par tem resultado positivo, logo, pode ser tanto o +3 quanto o –3.

2° Caso (b ≠ 0 e c = 0)

Teremos a forma: ax² + bx = 0
• uma raiz igual a zero.
• o produto das raízes é nulo.

Exemplo:
x²– 5x = 0 → x(x – 5) = 0 → x = 0 ou x = 5.

3° Caso (b = 0 e c = 0)

Exemplo:

x²= 0 → x = + 0 → x = 0.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

04. Determine as raizes abaixo:

a) x² – 25 = 0
b) – x² + 81 = 0
c) x² – 10x = 0
d) 2x² + 8x = 0

Resolução:

a) x² – 25 = 0
x² = 25
x = ±5

b) – x² + 81 = 0
X² = 81
X = ±9

c) x² – 10x = 0
x(x – 10) = 0
x = 0 ou x – 10 = 0
x = 0 ou x = 10

d) 2x² + 8x = 0
2x(x + 4) = 0
2x = 0 ou x + 4 = 0
x = 0 ou x = – 4

SOMA E PRODUTO DE RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Se e são as raízes da equação, então:

A) Soma  das raízes (S)


B) Produto das raízes (P)

Aplicando o produto notável “produto da soma pela diferença”, temos diferença de dois quadrados.





FORMA FATORADA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

A forma fatorada da equação do segundo grau é utilizada quando a questão fornece 2 raízes e mais um ponto qualquer da equação.

, em que  e   são as raízes da equação .

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

05.Escreva na forma fatorada a equação x²– 11x + 30 = 0.

Resolução:

Calculando as raízes da equação x²– 11x + 30 = 0, obtemos x¹ = 5 e x²= 6.

Sendo a = 1, x¹= 5 e x² = 6, a forma fatorada de x²– 11x + 30 = 0 pode ser assim escrita: (x – 5) · (x – 6) = 0

06. Escreva na forma fatorada a equação 3x² – 30x + 150 = 0.

Resolução:

Calculando as raízes da equação 3x²– 30x + 150 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. Sendo a = 3, x¹
= x² = 5, a forma fatorada de 3x² – 30x + 150 = 0 pode ser assim escrita:

3 · (x – 5) (x – 5) = 0 ou 3 · (x – 5)² =0

07. Escreva na forma fatorada a equação x² + 4x + 8 = 0.

Resolução:

Como o ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em ℝ.

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