Matrizes – Teoria, Nomenclatura e Operações Básicas
Aprenda sobre Teoria, Nomenclatura e Operações Básicas na nas Matrizes.
INTRODUÇÃO
Denomina-se matriz m x n, a tabela de números dispostos em m linhas, filas horizontais, e n colunas, filas verticais.
Exemplo:
Uma matriz A pode ser representada por:
com m, n IN*
Chamamos de aij o elemento da matriz A que se encontra na linha i e na coluna j.
Logo, o elemento da matriz A que está na 1a linha e 1a coluna é o elemento a11.
O elemento da matriz A que está na 2a linha e 3a coluna é o elemento a23 e assim sucessivamente.
Exemplo:
LEI DE FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ
É uma maneira de representarmos uma matriz utilizando apenas uma ou mais relações entre os elementos i e j.
Exemplo:
Determine a matriz A2×2 onde:
MATRIZES ESPECIAIS
MATRIZ NULA
É a matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero.
MATRIZ QUADRADA
É a matriz que tem m = n, isto é, o número de colunas é igual ao número de linhas.
Exemplo:
Para efeito de nomenclatura, costuma-se dizer matriz de ordem m.
Chama-se traço da matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal.
MATRIZ IDENTIDADE (MATRIZ UNIDADE)
É a matriz quadrada de ordem n, onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são iguais a zero.
Exemplo:
A lei de formação de uma matriz Identidade é:
lij = { 1, se i = j
{ 0, se i =̷ j
MATRIZ OPOSTA
É a matriz B cujos elementos são simétricos dos elementos correspondentes de A.
(B = -A)
Exemplo:
MATRIZ TRANSPOSTA (AT)
Matriz transposta da matriz Am x n é a matriz que obtemos trocando ordenadamente de posição as linhas, pelas colunas.
Ou seja, se Am x n então Atn x m.
Exemplo:
MATRIZ SIMÉTRICA
É a matriz onde aij = aji . ” i,j., ou seja , A = At.
Exemplo:
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B, de mesma ordem, são ditas iguais, quando tiverem todos os elementos correspondentes iguais.
OBERVAÇÃO
Elementos correspondentes são elementos de mesma posição, porém em matrizes distintas.
Exemplo 1:
Se , então:
Exemplo 2:
Determine os valores de x e y na expressão abaixo:
_________
COMO TELEFONEMAS E MATRIZES PODE CAIR NO ENEM?
Em muitas provas é comum encontrarmos algumas questões envolvendo tabelas compostas por linhas e colunas. O cálculo do número de telefonemas que três pessoas dão entre si pode ser facilmente explicitado na forma matricial. Desta maneira fica mais fácil realizar uma leitura geral e interpretar corretamente a situação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (FGV) As meninas 1 = Adriana, 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. Na matriz M, abaixo, cada elemento aij é igual ao número de telefonemas que i deu para j no mês de setembro. No mês de setembro, quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações são, respectivamente:
A) Bruna e Carla.
B) Adriana e Carla.
C) Carla e Bruna.
D) Adriana e Bruna.
E) Bruna e Adriana.
Resolução: E
Adriana ligou 0 + 13 + 10 = 23
Bruna ligou 18 + 0 + 6 = 24
Carla ligou 9 + 12 + 0 = 21
Adriana recebeu 0 + 18 + 9 = 27
Bruna recebeu 13 + 0 + 12 = 25
Carla recebeu 10+ 6 + 0 = 16
Gabarito: E
OPERAÇÕES COM MATRIZES
ADIÇÃO
Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem, chama-se de matriz soma de A com B a matriz C, onde seus elementos são iguais a soma dos elementos correspondentes de A e B.
Exemplo:
SUBTRAÇÃO
A diferença entre duas matrizes A e B (A – B) é a matriz obtida, somando a matriz A com a oposta de B.
Exemplo:
OBSERVAÇÃO
Só podemos somar e subtrair matrizes de mesma ordem e o resultado será da mesma ordem das matrizes dadas.
MULTIPLICAÇÃO
Matriz por número real
Dados a matriz Am x n e o número real k, obtemos a matriz kA, multiplicando todos os elementos de A, pelo número real k.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
