Probabilidade

INTRODUÇÃO

A partir da observação dos eventos de um espaço amostral, podemos medir se um evento tem grandes chances de acontecer ou não.

Assim, calcular probabilidade é comparar as chances de um evento ocorrer em relação a todas as possibilidades possíveis. Quanto maior for o evento em um espaço amostral, maior será a probabilidade de ele ocorrer. Maior será a porcentagem de chance de seu acontecimento.

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE

Seja um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio, e seja A um evento.

A probabilidade do evento A ocorrer, simbolizaremos por P(A), será definida por:

P(A) = n(a)/n(Ω)

Exemplo 1:

No lançamento de um dado “honesto”, qual a probabilidade de na face superior ocorrer um número par?

Resolução:

Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Logo n(Ω) = 6

Evento A: resultado par = {2, 4, 6}. Logo n(A) = 3

Assim, P(A) = n(A)/n(Ω) ⇒ P(A) = 3/6 = 1/2 

OBSERVAÇÃO

É muito comum representarmos a probabilidade como porcentagem. Assim, no exercício anterior, P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%

Exemplo 2:

Ao se arrumar as letras D, A, V, I, qual a probabilidade de se formar a palavra “VIDA”?

Resolução:

O evento que nos interessa só tem um elemento, que é a palavra VIDA.

Os casos possíveis que existem são todas as permutações dessas 4 letras, que é 4! = 24.

Dessa forma, a probabilidade pedida será 1/24.

Exemplo 3:

Em um baralho, retiram-se 4 cartas. Qual a probabilidade que exatamente duas sejam de reis?

Resolução:

O baralho possui 52 cartas, sendo 4 reis e 48 não reis.

Evento que nos interessa: E = {grupo de 4 cartas, sendo 2 reis e 2 não reis}.

Os 2 reis serão escolhidos entre os 4 reis do baralho. Isso pode
ser feito de C⁴,² modos.

As outras duas cartas serão escolhidas entre as 48 que não são reis do baralho. Sendo C⁴⁸,² casos.

Como queremos 2 reis e 2 não reis, pelo princípio multiplicativo, teremos C⁴,2 . C⁴⁸,² = 6 . 1128 = 6768

O espaço amostral é o total de grupos de 4 cartas.

Ora, temos 52 cartas e escolheremos 4, assim teremos C⁵²,⁴ , 270725 casos possíveis. 

Dessa forma, a probabilidade pedida será: 6768/270725

PROPRIEDADES

Seja um espaço amostral finito e não vazio, e sejam A e B eventos. Dessa forma, valem as seguintes propriedades:

a) P(∅) = 0 (∅ é chamado de evento impossível, pois ele nunca ocorre).

b) P(Ω) = 1(Quando o evento que coincide com o espaço amostral, é chamado de evento certo, pois ele sempre ocorre).

c) 0 ≤ P(A) ≤ 1

d) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) (chamada de adição de probabilidades).

e) P(A) = 1 – P(A) (chamada de probabilidade complementar).

Demonstração das propriedades:

a) P(∅) = n(∅)/n(Ω) = 0/n(∅) = 0

b) P(Ω) = n(Ω)/n(Ω) = 1

c) Como ∅ ⊂ A ⊂ Ω, temos n(∅) ≤ n(A) ≤ n(Ω)

Dividindo ambos os membros da desigualdade por n(Ω), temos:

n(∅)/n(Ω) < n(A)/n(Ω) < n(Ω)/n(Ω), logo 0 <  P(A) < 1.

d) Das relações entre conjuntos, sabemos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Dividindo ambos os membros da desigualdade por n(Ω), temos:

n(A ∪ B)/n(Ω) =  n(A)/n(Ω) = n(B)/n(Ω) = n(A ∩ B)

Portanto:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 

e) Sabemos que A ∩ A = ∅ e A ∪ A = Ω e, dessa forma, n (A ∩ A) = n (∅) = 0 e n(A ∪ A) = n(Ω).

Mas

n(A ∪ A) = n(A) + n(A) – n(A ∩ A) 

n(Ω) = n(A) + n(A) – 0

n(Ω) = n(A) + n(A) 

Dividindo ambos os membros da igualdade por n(Ω), temos:

1 = P(A) + P(A), em que P(A) = 1 – P(A).

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Para a rifa de um computador, foram vendidos mil bilhetes, numerados de 1 a 1.000, dos quais apenas um será premiado por sorteio. Zeca comprou os bilhetes de números 233, 234, 235, 236 e 237. A probabilidade de um dos bilhetes de Carlos ser sorteado é?

a) 5/200

b) 4/200

c) 3/200

d) 2/200

e) 1/200

Resolução: E

Observe que Zeca tem 5 bilhetes dentre mil. Dessa forma, a probabilidade de Zeca ser premiado é dada por P(ganhar) = 5/1000 = 1/200.

02. Mariana faz uma brincadeira com sua irmã. Recorta quatro pedaços de papel, e em cada um coloca uma das letras A, O, M, R. Em seguida coloca os quatro pedaços em uma caixa. Sacode e pede para sua irmã retirar os quatro pedaços, um de cada vez. Determine a probabilidade de que as letras sejam retiradas em ordem, formando a palavra AMOR. Isto é, qual a probabilidade de sair primeiro a letra A, seguida da letra M, seguida da letra O e por último sair a letra R?

a) 1/24 

b) 1/16

c) 1/12

d) 1/8

e) 1/4

Resolução: A

Observe que Mariana estipulou uma única sequência de letras para serem retiradas, mas o total de formas que isso pode ser feito é 4! = 24 (permutação das quatro letras) portanto a probabilidade pedida é dada por P = 1/24

03. Uma urna contém 5 bolas pretas e 4 bolas brancas. Retirando-se, simultaneamente, duas bolas, determine a probabilidade de ambas serem pretas.

Resolução:

A retirada de duas bolas pretas pode ser feita de C⁴,² = 4!/2!2! = 6 maneiras enquanto que a retirada de duas bolas quaisquer pode ser feita de C⁹,² = 9!/7!2! = 36 maneiras.

Dessa forma, a probabilidade pedida é dada por P=6/36=1/6.

04. Escolhendo-se ao acaso um dos meses do ano, qual a probabilidade de que esse mês tenha 32 dias?

a) 12/32

b) 4/32

c) 3/31

d) 3/17

e) 0

Resolução:

Como nenhum dos doze meses do ano possui 32 dias a probabilidade desse vento é zero. Chamamos esse caso de
evento impossível.

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio. Iremos usar o símbolo P(A/B) para representar a probabilidade do evento A ocorrer, sabendo que o evento B já aconteceu. Chamaremos de probabilidade condicional, uma vez que, nesse caso, o evento A ocorrer está condicionado à ocorrência do evento B. Dessa forma, B passa a ser o novo espaço amostral. Isso nos motiva a seguinte definição:

P (A|B) = n(A ∩ B)/n(B), desde que n(B) ≠ 0. 

Na igualdade anterior, se dividirmos numerador e denominador por n(Ω), teremos:

Assim, podemos também calcular a probabilidade condicional através da fórmula:

P (A|B) = P(A ∩ B)/P(B) , desde que P(B)≠ 0.

Concluímos, então, que temos duas maneiras de calcular a probabilidade condicional P(A/B).

É importante salientar que, em geral, resolveremos os problemas de probabilidade condicional sem preocupação com fórmulas novas, e sim usando o conceito inicial de probabilidade, com o devido cuidado em designar o conjunto que cumprirá o papel de espaço amostral.

05. Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo com a tabela abaixo:

Uma pessoa é escolhida ao acaso, calcule a probabilidade de que ela seja solteira, sabendo que ela é do sexo masculino.

Resolução:

Considere os seguintes eventos:
S = conjunto das pessoas solteiras
M = conjuntos das pessoas do sexo masculino
Estamos interessados em calcular a probabilidade do evento S ocorrer, sabendo que o evento M já aconteceu. Isto é, escolhendo-se um homem ao acaso, qual a probabilidade de ele ser solteiro?

Nesse caso, o conjunto das pessoas do sexo masculino passa a ser nosso novo espaço amostral. Pela tabela temos n(M) = 40.
Estamos interessados no evento, homem e solteiro. Como existem 10 homens solteiros, n(S ∩ M) = 10.

Assim, a probabilidade pedida será P(S|M) = n(S ∩ M)/n(M)

P(S|M) = 10/40 ⇒ 1/4

06. Um grupo de 30 pessoas é classificado de acordo com o sexo e a cor dos olhos, de acordo com a tabela.

Uma pessoa é escolhida ao acaso, calcule a probabilidade de:

a) ser do sexo masculino;
b) ser do sexo masculino, sabendo que tem olhos azuis.

Resolução:
M = conjunto das pessoas do sexo masculino.
A = conjuntos das pessoas com olhos azuis.

a) a probabilidade de ser do sexo masculino é imediata,

P(M) = 10/30 = 1/3 

b) Estamos interessados em calcular a probabilidade do evento M ocorrer, sabendo que o evento A já aconteceu.
Isto é, escolhendo-se uma pessoa de olhos azuis ao acaso, qual a probabilidade de ser homem?

Nesse caso, o conjunto das pessoas de olhos azuis passa a ser nosso novo espaço amostral. Pela tabela temos n(A) = 6.

Estamos interessados no evento, homem com olhos azuis. Como existe apenas 1 homem com olhos azuis, n(M ∩ A) = 1.

Assim, a probabilidade pedida será P(M|A) = n(M ∩ A)/n(A) = 1/6

EVENTOS INDEPENDENTES

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral finito e não vazio. Dizemos que A e B são eventos independentes quando a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro.

Nesse caso, P(A | B) = P(A). Além disso, teremos também que P(B | A) = P(B).

OBSERVAÇÃO

Quando a ocorrência do evento B, influenciar na ocorrência do evento A, diremos que A depende do B. Em símbolos, se A depende do B, teremos P(A | B) ≠ P(A).

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Uma importante ferramenta que surge como consequência imediata da probabilidade condicional é a multiplicação de probabilidades.

Considere A e B dois eventos não vazios, de um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio. Temos que:

Dessa forma, a probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem simultaneamente, é produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que o primeiro já ocorreu.

Com base nisso, podemos provar que:

A e B são eventos independentes se, e somente se, P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Demonstração:

De fato, suponha A e B são eventos independentes. Então
P(A | B) = P(A).

Aplicando na multiplicação de probabilidades, temos:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B), em que P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Concluímos assim que, se A e B são eventos independentes, então P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Por outro lado, suponha agora que P(A ∩ B) = P(A) · P(B) (I)

Da multiplicação de probabilidades, sabemos que
P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) (II)

Logo, de (I) e (II) temos que P(A | B) = P(A), o que equivale a dizer que P(B | A) = P(B), sendo assim A e B são eventos independentes.

Como queríamos demonstrar

OBSERVAÇÃO

Quando P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B) diremos que os eventos são dependentes.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

07. Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, determine a probabilidade das duas serem brancas, se as bolas tiverem sido retiradas com reposição.

Resolução:

A probabilidade da 1ª bola ser branca é 4/7 . Como houve reposição da bola, a probabilidade da 2ª bola ser branca também vale  4/7 .  Para calcularmos a probabilidade da 1ª branca e 2ª branca, pela multiplicação de probabilidades, teremos:

Repare que o 1º evento não influenciou a probabilidade do 2º evento, logo, são eventos independentes.

08. Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, determine a probabilidade das duas serem brancas, se as bolas tiverem sido retiradas sem reposição.

Resolução:

A probabilidade da 1ª bola ser branca é 4/7. Neste caso, não ocorre reposição. Como já retiramos uma bola da urna, agora ela só tem 6 bolas na urna. Como a 1ª bola retirada era branca, agora só temos 3 bolas brancas na urna, logo, a probabilidade da 2ª ser branca é 3/6. 

09. Uma urna possui 4 bolas brancas e 3 pretas. Retirando-se 2 bolas desta urna, sucessivamente e sem reposição, calcule a probabilidade de as bolas possuírem cores diferentes.

Resolução:

Se as duas bolas terão cores diferentes, então uma será branca e a outra será preta. Como iremos retirar duas bolas
sucessivamente e sem reposição, temos dois casos a considerar:

1ª bola branca e a 2ª bola preta: 4/7 . 3/6 = 2/7

1ª bola preta e a 2ª bola branca: 3/7 . 4/6 = 2/7

Assim, a probabilidade pedida é 2/7 + 2/7 = 4/7