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Logaritmo – Condição de Existência

Logaritmo – Condição de Existência

Aprenda mais sobre Logaritmo. 

INTRODUÇÃO

Acima uma figura que representa O escocês John Napier (1150 – 1617), criador dos Logaritmos

(Disponível em: https://jaquelinejk.wordpress.com/indice-biografico/. Acesso em outubro de 2016)

Definição: Sejam a e b dois números reais positivos, com  a ≠ 1. Chama-se logaritmo de  b na base a, o expoente x tal que  ax = b.

Em símbolos, escrevemos:

Na sentença  logab = x,

a é chamado de base

x é chamado de logaritmo e

b é chamado de logaritmando.

É sempre importante lembrar que, 0 < a ≠ 1 e b > 0.

Exercício Resolvido

01. Determine o valor de  x  tal que  log28 = x

Resolução:

Pela definição de logaritmo, temos que 

02. Determine o valor de

Resolução:

Vamos chamar de  x  o valor que queremos encontrar. Assim.

Da definição de logaritmo, temos:






CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Considere três números reais positivos, a, b e c, com a ≠ 1. Os resultados a seguir são consequências imediatas da definição de logaritmo.

1a) log_a1=0

De fato, vamos indicar por x o logaritmo da unidade. Assim, 

Pela definição de logaritmo, 

Portanto, 

2a)

De fato, vamos indicar por x o logaritmo de  a  na base  a. Assim, 

Pela definição de logaritmo, 

Portanto, 

3a)

De fato, vamos indicar por  esses logaritmos. Assim, 

Mas, da definição de logaritmo,  

Da mesma forma, 

De (I) e (II), temos .

Portanto,

4a)

De fato, vamos indicar por  x essa potência.

Assim, . Escrevendo essa potência como logaritmo, temos.

Portando,

SISTEMAS DE LOGARITMOS

Chamamos de sistemas de logaritmos de base a, o conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (0 < a ≠ 1). Existem dois sistemas de logaritmos muito importantes. O sistema de logaritmos decimais e o sistema de logaritmos neperianos.

Sistema de logaritmos decimais

É o sistema de base 10.

Considere um número real positivo b. Representamos o logaritmo decimal de b, por  . Quando a base é 10, é muito comum representar , simplesmente por .

SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS (OU LOGARITMOS NATURAIS)

É o sistema de base e.

O número e é um número irracional, cujo valor é, aproximadamente, . Assim,.

Considere um número real positivo . Representamos o logaritmo neperiano de , por  . Quando a base é o número , é muito comum escrever como .

MUDANÇA DE BASE

Em diversas situações, será muito importante mudar a base do logaritmo. Vamos agora estudar como isso pode ser feito.

Considere três números reais positivos a, b e d, com a e d diferentes de 1. Temos que:

log_ab=\\frac{log_db}{log_da}

Demonstração:

Considere três números reais  w, j  e  k, tais que  log_ab=w,log_db=j\\,

Pela definição de logaritmos temos:



Como , elevando ambos os membros da igualdade a , temos:

Assim,

onde  como queríamos demonstrar.

Exemplo: 

Transformando o log²3 para a base 7:

Sendo assim, teremos algumas consequências da mudança de base:

1º) Se a, b e c são números reais e positivos e a e c diferentes de 1, então:

logᵃ b= logᶜ b . logᵃ c

Demonstração: Transformando o logᶜ b para a base a:

logᶜ b. logᵃ c = logᵃ b/logᵃ c . logᵃ c = logᵃ b 

2º) Se a e b são números reais positivos e diferentes de 1, então:

logᵃ b= 1/logᵇ a 

Demonstração:

Transformando o logᵃb para a base b:
logᵃb= logᵇ b/logᵇ a = 1/ᵇlogᵇ a

3º) Se a e b são números reais positivos com a diferente de 1 e n um número real não nulo, então:

logᵃ ⁿ b  = 1/n . logᵃ b

Demonstração:
Deve-se considerar dois casos:

Abaixo uma figura representando os 2 casos: 

COLOGARITMO

Cologᵃ b = – logᵃ b com b > 0 e 1 ≠ a > 0

OBSERVAÇÃO

Estima-se que a cada ano ocorra cerca de 500 mil terremotos gerados por encontros de placas tectônicas, falhas geológicas e atividades vulcânicas em todo o globo. Cada abalo sísmico possui a sua magnitude e a energia liberada pode ser calculada por meio de funções logarítmicas como veremos na questão a seguir.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

01. (ENEM) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mʷ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mʷ e M⁰ se relacionam pela fórmula:

Mʷ = -10,7 + 2/3 . log ¹⁰(M⁰) 

Onde M⁰ é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mʷ = 7,3.

(U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em:
http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 [adaptado]).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico
M0 do terremoto de Kobe em (dina.cm)?

a) 10-⁵,¹⁰
b) 10 -⁰,⁷³
c) 10¹²,⁰⁰
d) 10²¹,⁶⁵
e)10²⁷,⁰⁰

Resolução: E

Fazendo Mʷ = 7,3, temos: 

7,3 = -10,7 + 2/3 . logM⁰

18 = 2/3 . logM⁰

27 = logM⁰ → M⁰ = 10²⁷

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