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Logaritmo – Condição de Existência

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Logaritmo – Condição de Existência

Aprenda mais sobre Logaritmo.

INTRODUÇÃO

Acima uma figura que representa O escocês John Napier (1150 – 1617), criador dos Logaritmos

_{(Disponível em: https://jaquelinejk.wordpress.com/indice-biografico/. Acesso em outubro de 2016)}

Definição: Sejam a e b dois números reais positivos, com a ≠ 1. Chama-se logaritmo de b na base a, o expoente x tal que a^x = b.

Em símbolos, escrevemos:

$log_ab=x\leftrightarrow a^x=b$

Na sentença log_ab = x,

a é chamado de base

x é chamado de logaritmo e

b é chamado de logaritmando.

É sempre importante lembrar que, 0 < a ≠ 1 e b > 0.

Exercício Resolvido

01. Determine o valor de x tal que log₂8 = x

Resolução:

Pela definição de logaritmo, temos que $log_28=x\leftrightarrow 2^x=8$
$2^x=2^3$

02. Determine o valor de $log_{25}\sqrt[4]{125}$

Resolução:

Vamos chamar de x o valor que queremos encontrar. Assim.

$log_{25}\sqrt[4]{125}=x$

Da definição de logaritmo, temos:

$25^x=\sqrt[4]{125}$
$(5^2)^x=\sqrt[4]{5^3}$
$5^{2x}=5^{\frac{3}{4}}$
$2x=\frac{3}{4}$
$x=\frac{3}{8}$
$S=\left \{ \frac{3}{8} \right \}$

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Considere três números reais positivos, a, b e c, com a ≠ 1. Os resultados a seguir são consequências imediatas da definição de logaritmo.

1^a) $log_a1=0$

De fato, vamos indicar por x o logaritmo da unidade. Assim, $log_a1=x$

Pela definição de logaritmo, $log_a1=x\leftrightarrow a^x=1\rightarrow x=0$

Portanto, $log_a1=0$

2^a) $log_aa=1$

De fato, vamos indicar por x o logaritmo de a na base a. Assim, $log_aa=x$

Pela definição de logaritmo, $log_aa=\leftrightarrow a^x=a\rightarrow x=1$

Portanto, $log_aa=1$

3^a) $log_ab=log_ac\rightarrow b=c$

De fato, vamos indicar por $x$ esses logaritmos. Assim, $log_ab=x\, e\, log_ac=x$

Mas, da definição de logaritmo, $log_ab=x\leftrightarrow a^x=b(I)$

Da mesma forma, $log_ac=x\leftrightarrow a^x=c(II)$

De (I) e (II), temos $b=c$ .

Portanto, $log_ab=log_ac\leftrightarrow b=c$

4^a) $a^{log_ab}=b$

De fato, vamos indicar por x essa potência.

Assim, $a^{log_ab}=x$ . Escrevendo essa potência como logaritmo, temos.

$log_ax=log_ab\leftrightarrow x=b$

Portando, $a^{log_ab}=b$

SISTEMAS DE LOGARITMOS

Chamamos de sistemas de logaritmos de base a, o conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (0 < a ≠ 1). Existem dois sistemas de logaritmos muito importantes. O sistema de logaritmos decimais e o sistema de logaritmos neperianos.

Sistema de logaritmos decimais

É o sistema de base 10.

Considere um número real positivo b. Representamos o logaritmo decimal de b, por $log_{10}b$ . Quando a base é 10, é muito comum representar $log_{10}b$ , simplesmente por $log\, b$ .

SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS (OU LOGARITMOS NATURAIS)

É o sistema de base e.

O número e é um número irracional, cujo valor é, aproximadamente, $2,718$ . Assim, $e\neq 2718$ .

Considere um número real positivo $b$ . Representamos o logaritmo neperiano de $b$ , por $log_eb$ . Quando a base é o número $e$ , é muito comum escrever $log_eb$ como $ln\, b$ .

MUDANÇA DE BASE

Em diversas situações, será muito importante mudar a base do logaritmo. Vamos agora estudar como isso pode ser feito.

Considere três números reais positivos a, b e d, com a e d diferentes de 1. Temos que:

$log_ab=\\frac{log_db}{log_da}$

Demonstração:

Considere três números reais w, j e k, tais que $log_ab=w,log_db=j\\,$

Pela definição de logaritmos temos:

$log_ab=w\leftrightarrow a^w=b$
$log_db=j\leftrightarrow d^j=b$
$log_da=k\leftrightarrow d^k=a$

Como $d^k=a$ , elevando ambos os membros da igualdade a $w$ , temos:

$(d^k)^w=a^w=b=d^j$

Assim,

$d^{kw}=d^j$ $kw=j$ $w=\frac{k}{j}$

onde $log_ab=\frac{log_db}{log_da}$ como queríamos demonstrar.

Exemplo:

Transformando o log²3 para a base 7:

$log_23=\frac{log_73}{log_72}$

Sendo assim, teremos algumas consequências da mudança de base:

1º) Se a, b e c são números reais e positivos e a e c diferentes de 1, então:

logᵃ b= logᶜ b . logᵃ c

Demonstração: Transformando o logᶜ b para a base a:

logᶜ b. logᵃ c = logᵃ b/logᵃ c . logᵃ c = logᵃ b

2º) Se a e b são números reais positivos e diferentes de 1, então:

logᵃ b= 1/logᵇ a

Demonstração:

Transformando o logᵃb para a base b:
logᵃb= logᵇ b/logᵇ a = 1/ᵇlogᵇ a

3º) Se a e b são números reais positivos com a diferente de 1 e n um número real não nulo, então:

logᵃ ⁿ b = 1/n . logᵃ b

Demonstração:
Deve-se considerar dois casos:

Abaixo uma figura representando os 2 casos:

COLOGARITMO

Cologᵃ b = – logᵃ b com b > 0 e 1 ≠ a > 0

OBSERVAÇÃO

Estima-se que a cada ano ocorra cerca de 500 mil terremotos gerados por encontros de placas tectônicas, falhas geológicas e atividades vulcânicas em todo o globo. Cada abalo sísmico possui a sua magnitude e a energia liberada pode ser calculada por meio de funções logarítmicas como veremos na questão a seguir.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (ENEM) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mʷ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mʷ e M⁰ se relacionam pela fórmula:

Mʷ = -10,7 + 2/3 . log ¹⁰(M⁰)

Onde M⁰ é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mʷ = 7,3.

(U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em:
http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 [adaptado]).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico
M0 do terremoto de Kobe em (dina.cm)?

a) 10-⁵,¹⁰
b) 10 -⁰,⁷³
c) 10¹²,⁰⁰
d) 10²¹,⁶⁵
e)10²⁷,⁰⁰

Resolução: E

Fazendo Mʷ = 7,3, temos:

7,3 = -10,7 + 2/3 . logM⁰

18 = 2/3 . logM⁰

27 = logM⁰ → M⁰ = 10²⁷

Logaritmo – Condição de Existência

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CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

SISTEMAS DE LOGARITMOS

Sistema de logaritmos decimais

SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS (OU LOGARITMOS NATURAIS)

MUDANÇA DE BASE

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