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Inequações Exponenciais e Logarítmicas

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Inequações Exponenciais e Logarítmicas

Aprenda mais sobre as Inequações Exponenciais e Logarítmicas

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

Para resolvermos desigualdades exponenciais utilizamos os mesmos princípios das equações exponenciais, porém, tomando muito cuidado com a observação abaixo.

Base > 1 mantemos o sinal da desigualdade.

Base > 0 e < 1 invertemos o sinal da desigualdade.

Exemplo 1

Resolva a inequação $2^{x-3}>4^{x+1}$

Solução:

Base > 1

$2^{x-3}>(2^2)^{x+1}\rightarrow 2^{x-3}>2^{2x+2}\rightarrow x-3>2x+2\rightarrow x<-5$

Exemplo 2

Resolva a inequação:

$\left ( \frac{1}{4} \right )^{2x-3}\leq \left ( \frac{1}{4} \right )^5$

Solução:

Base entre 0 e 1

$2x-3\geq 5\rightarrow 2x\geq 8\rightarrow x\geq 4$

Exercícios Resolvidos

01. Se x é um número real, resolva a inequação exponencial (3^x)^{x – 1} > 729.

Solução:

Sabemos que 729 é 3⁶

$(3^x)^{x-1}>729$
$(3^x)^{x-1}>3^6$
$x(x-1)>6$
$x^2-x-6>0$

Agora utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

$x=\frac{-b^+_-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a},\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c$

$\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)$

$\Delta=1+24$

$\Delta=25$

$x=\frac{-(-1)^+_-\sqrt{25}}{2\cdot1}$

$x=\frac{1^+_-5}{2}$

Portanto, a solução da inequação é dada por $S=\left \{ x\in R|x<-2\, \textup{ou}\, x>3 \right \}$ .

02. Determine a solução da inequação, sendo x um número real:

$(0,1)^{5x-1}<(0,1)^{2x+11}$

Solução:

Temos, agora, a base maior que zero e menor que 1, logo:

$5x-1>2x+11$

$5x-2x>11+1$

$3x>12$

$x>4$

$S={x\in R|x>4}$

03. Determine a solução da inequação, sendo x um número real:

$3^{x-1}-3^x+3^{x-1}\leq 21$

Solução:

Separando as potências, temos:

$3x\cdot 3-3x+3x\cdot \frac{1}{3}\leq 21$

$3x\cdot 3-1+\frac{1}{3}\leq 21$

$3x\cdot \frac{7}{3}\leq 21$

$3x\leq \frac{63}{7}$

$3x\leq 9$

Logo:

$3x\leq 3^2$

$x\leq 2$

Assim:

$S=\left \{ x\in R | x\leq 2\right \}$

04. $4^x-6\\cdot 2^x+8<0$

Solução:

$4^x-6\cdot 2^x+8<0\Rightarrow (2^x)^2-6\cdot 2^x+8<0$

Fazendo, $2^x=y$ , temos

$Y^2-6y+8<0\Rightarrow 2<y<4\Rightarrow 2<2^x<2^2$

Como a base é maior que 1, então $1<x<2.:S=]1,2[$

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Base > 1 mantém a desigualdade

0 < Base < 1 inverte a desigualdade

CUIDADO: Não podemos esquecer de observar as condições de existência.

Exemplo 1

Resolva a inequação log₃(2-5x) ≤ 1

Solução:

C.E. → 2 – 5x > 0 log³ (2 – 5x) ≤ log³3

5x < 2 Base > 1

x < 2/5 2 – 5x ≤ 3

5x ≥ -1

x > -1/5

Exemplo 2

Resolva a inequação $log_{\frac{1}{2}}x-3>0$

Solução:

C.E. → x > 0

log¹/² x – 3 > 0

log¹/² > 3

log¹/² x > log¹/² 1/8

Base < 1

x < 1/8

S = { x ∈ ℝ| 0 < x < 1/8}

Exercícios Resolvidos

01. (UERJ) Ao digitar corretamente a expressão log₁₀(–2) em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo não é um número real.

Determine todos os valores reais de x para que o valor da expressão $log_{0,1}(log_{10}(log_{0,1}(x)))$ seja um número real.