Geometria Espacial – Esfera
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ESFERA E SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Consideremos um ponto O e um segmento de medida R.
Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja menor ou igual a R.
Podemos definir superfície esférica de centro O e raio R, como o conjunto dos pontos P do espaço que distam R do ponto O.
SEÇÃO NA ESFERA
Considere uma esfera de raio R seccionada por um plano, dessa maneira obtemos os seguintes elementos:
• d: a distância entre o centro e o plano
• r: o raio da seção plana obtida pela interseção entre o plano e a esfera.
Observe que R, r e d formam um triângulo retângulo e portanto, temos a seguinte ralação R² = r² + d².
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Um plano α secciona uma esfera de raio 10 cm à distância de 6 cm de seu centro. Calcular a área da seção plana determinada por α nessa esfera.
Resolução:
Como visto anteriormente podemos relacionar o raio da esfera com o raio e a distância da secção:
R² = r² + d²
Como R = 10 e d =6, temos que: 10² = r² + 6²
100 = r² + 16
64 = r²
r = 8cm
Dessa forma, a área da secção, que é um círculo, pode ser calculada pois Aᶜⁱʳᶜᵘˡᵒ = πr²
= π . 8² = 64π cm².
VOLUME DA ESFERA
O volume de uma esfera de raio R é calculado por:
Exemplo:
O volume de uma bola de chocolate com 3 cm de raio é v = 4/3 π . 3³ = 36π cm³.
DEMONSTRAÇÃO DO VOLUME DA ESFERA
Para determinar o volume da esfera, apliquemos o Princípio de Cavalieri. Considere um cilindro equilátero, cuja base possui raio R, e uma esfera de raio R, ambos apoiados num mesmo plano. Subtraindo dois cones desse cilindro, de forma que sejam cones retos com bases coincidentes com as do cilindro e vértices coincidentes no centro do cilindro, como sugere a figura abaixo.
O sólido resultante é tal que qualquer plano horizontal distando h do centro, ou do centro da esfera, produz uma seção que é uma coroa circular, cujas medidas das áreas calculamos abaixo.
A área da seção na esfera é Aˢᵉᶜᶜᵃᵒ ⁿᵃ ᵉˢᶠᵉʳᵃ = πr².
A área da seção no sólido é uma coroa circular, assim Aˢᵉᶜᶜᵃᵒ ⁿᵃ ᵉˢᶠᵉʳᵃ = π(R² – h²).
Contudo, temos que R²= r²+ h² ↔ r²= R²– h².
Portanto, como π r²= π(R²– h²), as áreas são iguais para quaisquer seções transversais, e assim o princípio de Cavalieri nos garante que os volumes são iguais.
Dessa maneira:
Vᵉˢᶠᵉʳᵃ = Vᶜⁱˡⁱⁿᵈʳᵒ = Vᶜᵒⁿᵉ
Vᵉˢᶠᵉʳᵃ = πR² . 2R – 2/3 πR² . R ↔ Vᵉˢᶠᵉʳᵃ = 4/3πR³
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Considere uma esfera de raio R, onde sua superfície é dividida em um número n muito grande de regiões. Como sugere a figura abaixo, todas com áreas e perímetros muito pequenos.
Intuitivamente, podemos perceber que cada uma dessas regiões, “quase” planas, é base de uma pirâmide cujo vértice está centro da esfera. Assim, dividimos a esfera em n pirâmides, todas com alturas iguais a R e áreas da base A¹, A², … , Aⁿ . Assim, o somatório dos volumes dessas pirâmides é o volume da esfera e o somatório das áreas das bases das pirâmides é a área da superfície esférica. Logo:
1/3 A¹R + 1/3 A²R + …. + 1/3 AⁿR = 4/3 πR³
R/3 (A¹+ A²+ …. + An) = 4/3 πR³
A¹+ A²+ …. + Aⁿ= 4 πR²
Aᵉˢᶠᵉʳᵃ = 4πR²
02. Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem área
400π cm².
Resolução:
Inicialmente, usaremos a informação da superfície esférica para encontrar o raio da esfera.
Aᵉˢᶠᵉʳᵃ = 4π R² = 400π
R²= 100
R = 10cm
Sabendo o raio é imediato o calculo do volume, pois o
Vᵉˢᶠᵉʳᵃ = 4/3 π R³.
Vᵉˢᶠᵉʳᵃ = 4/3 π 10³ = 4000π/3 cm³.
FUSO E CUNHA ESFÉRICA
Uma outra maneira de seccionar a esfera, é formando o análogo a um “gomo” de uma laranja.
Essa seção é determinada por dois planos que contém o mesmo diâmetro e que formam um ângulo α.
A parte da esfera contida nesses planos é chamada de cunha esférica, e a parte da superfície esférica contida nesses planos é chamada de fuso esférico.
Cabe ressaltar que ao se dobrar o ângulo entre os planos, dobramos também o volume da cunha e a área do fuso. Assim, podemos afirmar que a área do fuso, o volume da cunha e o ângulo entre os planos são diretamente proporcionais.
Fazendo uma analogia de uma esfera com uma laranja, temos que:
ÁREA DO FUSO ESFÉRICO
SEGMENTO E CALOTA ESFÉRICA
Quando seccionamos uma esfera, o plano divide a esfera em dois segmentos esféricos, e a superfície esférica em duas calotas esféricas.
Considere uma esfera de raio R, seccionada por um plano formando um segmento esférico de altura h, como sugere a imagem abaixo.
A área da calota esférica é dada por:
Aᶜᵃˡᵒᵗᵃ = 2πR .h
O volume do segmento é dado por:
Vˢᵉᵍᵐᵉⁿᵗᵒ = πh² . (3R – h)
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
03. Calcule a área total de uma cunha esférica com 2 m de raio e 40° de ângulo diedro.
(Obs: A superfície de uma cunha esférica é formada por um fuso esférico e dois semicírculos.)
Resolução:
Como sugerido no exercício, usaremos o fato da superfície de uma cunha esférica ser formada por um fuso esférico e dois semicírculos.
Assim, a área total pode ser calculada pela seguinte expressão:
Aᶠᵘˢᵒ + Aᶜⁱʳᶜᵘˡᵒ = α/360° . 4πR² + πR²
Aᶠᵘˢᵒ + Aᶜⁱʳᶜᵘˡᵒ = 40/360° . 4π2² + π2²
Aᶠᵘˢᵒ + Aᶜⁱʳᶜᵘˡᵒ = = 1/9 . 16π + 4π = (16π + 36π)/9 = 52π/9 cm²
