Geometria Espacial – Cones

CONE CIRCULAR

Considere agora, um círculo no plano, e um ponto V fora desse plano. Chamamos de cone circular a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo.

ELEMENTOS DO CONE

Considere o cone apresentado. Chamamos o ponto V de vértice do cone; o círculo de centro O de base do cone; o raio r desse círculo é o raio da base; o segmento com a extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base de geratriz; a distância entre o vértice e o plano da base de altura e a reta que passa pelos pontos V e O de eixo.

CLASSIFICAÇÃO

Tomemos o eixo do cone, chamamos o cone de oblíquo quando seu o eixo não é perpendicular ao plano da base, ou seja, quando o eixo forma, com a base, um ângulo diferente de 90°. Chamamos de cone reto àquele cujo eixo é perpendicular ao plano da base.

O cone circular reto também é chamado de cone de revolução, pois é formado pela rotação de um triângulo retângulo por um de seus catetos.

PLANIFICAÇÃO DO CONE CIRCULAR RETO

Considere um cone circular reto, de raio da base R e geratriz g. Sua superfície lateral pode ser desenrolada em um setor de raio g, cujo arco tem comprimento 2πR, assim como sugere a figura.

Dessa maneira, podemos calcular o ângulo do setor planificado e sua área lateral relacionando-os com R e g.

Observe a imagem abaixo. Considere um setor circular de ângulo θ e comprimento de arco l. Observemos que ao dobrar o comprimento l, dobramos também o ângulo do setor e sua área correspondente.

Dessa maneira podemos afirmar que, dado um setor circular são diretamente proporcionais:

• o ângulo θ correspondente a esse setor,
• o seu comprimento de arco;
• a área do setor.

Dessa maneira, por meio de uma regra de três, determinamos as medidas do ângulo θ da planificação da superfície lateral e de sua área lateral.

ÂNGULO DO SETOR DA PLANIFICAÇÃO E ÁREA LATERAL

Considere a planificação da superfície lateral de um cone reto, como mostra a figura abaixo:

Calculando o ângulo θ, temos:
360o →2πg
θ → 2πr
→ θ ⋅ 2πg = 360o ⋅ 2πr ↔ θ = r/g . 360°

Calculando a área da superfície lateral, temos:

arco   área

2πg → πg²
2πR → Aˡᵃᵗᵉʳᵃˡ
logo, Aˡᵃᵗᵉʳᵃˡ . 2πg = 2πR ⋅ πg², e portanto Aˡᵃᵗᵉʳᵃˡ = πRg

Como a área total é a soma da área lateral com a área da base, temos:

Aᵗᵒᵗᵃˡ = Aᵇᵃˢᵉ + Aˡᵃᵗᵉʳᵃˡ
Aᵗᵒᵗᵃˡ = πR² = πRg
Aᵗᵒᵗᵃˡ = πR (R + g)

VOLUME

O volume de um cone é calculado assim como o volume de uma pirâmide, ou seja, pela terça parte do produto da área da base pela altura. Dessa maneira:

Considere um cone cujo raio da base é R e altura h.

Seu volume é dado por:

SEÇÃO MERIDIANA

Chamamos de seção meridiana a interseção do cone com um plano que contém o seu eixo.

Observe que a seção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles.

CONE EQUILÁTERO

Chamamos de cone equilátero todo cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base, ou seja, é o cone cuja seção meridiana é um triângulo equilátero.

Assim, temos que a geratriz é e a altura do cone é .

A planificação da superfície lateral do cone equilátero é um semicírculo.

Note que o ângulo na planificação é:

Ou seja, o ângulo da planificação do cone equilátero é 180° e, portanto, um semicírculo.

Exercício resolvido

01. (UNIRIO) Uma tulipa de chope tem a forma cônica, como mostra a figura ao lado. Sabendo-se que a sua capacidade é de 100 p ml, a altura h é igual a:

Resolução: