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Geometria Analítica – Introdução

Geometria Analítica – Introdução

Aprenda mais sobre Geometria Analítica. 

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO




Assim, podemos dizer que para qualquer dois pontos A(xᴬ , yᴬ ) e B(xᴮ, yᴮ), o ponto médio M(xᴹ, yᴹ) do segmento AB é dado por:

Xᴹ = Xᴬ + Xᴮ/2 e yᴹ = yᴬ + yᴮ/2

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01 . Achar as coordenadas do ponto médio do segmento \\overline{AB}, sendo A(2, 5) e B(4,-3).

Resolução:


DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM UMA RAZÃO DADA

Se um ponto C pertence a um segmento AB e C é distinto de A e de B, dizemos que C divide o segmento AB na razão \\frac{AC}{CB} .

 

Supondo que AB não é paralelo ao eixo Ox, sendo Xa, Xc e Xb as abscissas de A, C e B, respectivamente, e Ya, Yc, Yb as ordenadas de A, C e B, respectivamente, temos pela semelhança dos triângulos TAC e RCB que:

Baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo.

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO







Assim, podemos dizer que para qualquer três pontos A(xᴬ , yᴬ ), B(xᴮ, yᴮ) e C(xᶜ, yᶜ) vértices de um triângulo, o baricentro G(xᴳ, yᴳ) desse triângulo é dado por

Xᴳ = Xᴬ + Xᴮ + Xᶜ /3 e yᴳ = yᴬ + yᴮ + yᶜ

Exercício Resolvido

02. Determine o baricentro do triângulo A (2, 5) , B (–1, 0) e C (5, –2).

Resolução:




DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Situação 1

Você saberia responder qual é a distância entre os pontos A e B? E entre os pontos C e D?

É possível observar que a distância de A e B são de 4 unidades, que seria o comprimento no segmento AB. Tal distância pode ser calculada como o módulo da diferença entre as abscissas de A e B, isto é, AB = | 6 – 2 |
ou AB = | 2 – 6 |, ou simplesmente, a abscissa maior menos a menor, AB = 6 – 2 = 4.

De maneiro análoga, a distância entre os pontos C e D, pode ser calculada da seguinte maneira: CD = | 4 – (- 2) | = 6

Para calcularmos a distância entre os pontos A e B basta calcular o módulo do vetor  ou simplesmente ter a visão analítica e fazer a distância entre dois pontos. 

Situação 2

Para calcular tal distância entre A e B, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. Veja abaixo:

Assim, podemos dizer que a distância entre qualquer dois pontos A(xᴬ , yᴬ) e B(xᴮ, yᴮ) é dado por:

d² = (xᴮ – xᴬ)² + (yᴮ – yᴬ)²

d = √(xᴮ – xᴬ)² + (yᴮ – yᴬ)²

Exercício resolvido

03. Determine a distância entre os pontos A(-1,4) e B(3,7).

Resolução:

Utilizando vetores podemos determinar o vetor  e calcular o seu módulo.






Logo, a distância entre os pontos A e B é igual a 5.

Ou simplesmente podemos utilizar a relação:




CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

Os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) estarão alinhados se, e somente se:

ÁREA DO TRIÂNGULO

Caso três pontos não estejam alinhados, com certeza estarão formando um triângulo cuja área pode ser calculada por:

ÁLGEBRA LINEAR

SEGMENTO ORIENTADO

O segmento de reta orientado de origem em A e extremidade em B, será representado por \\overrightarrow{AB} e geometricamente representado por:

Caracterizado pelo sentido do segmento.

A distância de A até B (comprimento do segmento) é chamado de módulo do segmento orientado e representado por |\\overrightarrow{AB}||.

A direção de  é a direção da reta suporte do segmento, e o seu sentido é representado pela flecha ( , de A para B).

SEGMENTOS ORIENTADO EQUIPOLENTES

Se dois ou mais segmentos orientados têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, serão ditos segmentos equipolentes.

VETOR

Vetor  determinado por um segmento orientado  é o conjunto de todos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento  .

Logo, podemos afirmar que  é o vetor  aplicado em A,  é o vetor  aplicado em C etc.

Componentes de um vetor no plano (IR2)


Exemplo:

A(3,-1) e B(0,3), se , então:


Representação de um vetor no plano


OBSERVAÇÃO
A projeção de qualquer dos segmentos orientados acima no eixo x é –3, e no eixo y é 1, logo todos os segmentos acima representam o vetor . Porém, em geral, procuramos marcar um vetor no plano cartesiano aplicando-o na origem, pois assim marcamos apenas o ponto representado pelo par do vetor.

Analogamente, tudo que foi visto acima vale para o ℝ3.

Módulo (Norma) de um vetor

O módulo ou norma de um vetor, como vimos anteriormente, é o comprimento do segmento orientado que representa o vetor.

Se  então 

Exercícios resolvidos

04. Determine o módulo do vetor  = (3, 2).

Resolução:



Logo

Logo, se  , podemos concluir que

05. (definição análoga para o IR3).

Determine o módulo do vetor .

Resolução:


Propriedades:


Vetor unitário

O vetor é dito unitário quando .

OBSERVAÇÃO
Dado um vetor , não nulo, o vetor  é um vetor unitário de mesma direção e sentido de . Esse vetor é denominado versor de .
Exercício resolvido

06. Determine o versor do vetor

Resolução:

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