Estude para o Enem totalmente grátis

Geometria Analítica – Introdução

Home » Matemática » Geometria Analítica – Introdução

Geometria Analítica – Introdução

Aprenda mais sobre Geometria Analítica.

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

$\overline{AM}=\overline{MB}$
$M-A=B-M$
$2M=A+B$
$M=\frac{A+B}{2}$

Assim, podemos dizer que para qualquer dois pontos A(xᴬ , yᴬ ) e B(xᴮ, yᴮ), o ponto médio M(xᴹ, yᴹ) do segmento AB é dado por:

Xᴹ = Xᴬ + Xᴮ/2 e yᴹ = yᴬ + yᴮ/2

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01 . Achar as coordenadas do ponto médio do segmento $\\overline{AB}$ , sendo A(2, 5) e B(4,-3).

Resolução:

$M=\frac{A+B}{2}\rightarrow M=\frac{(2,5)+(4,3)}{2}=\frac{(6,2)}{2}$
$M=(3,1)$

DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM UMA RAZÃO DADA

Se um ponto C pertence a um segmento AB e C é distinto de A e de B, dizemos que C divide o segmento AB na razão $\\frac{AC}{CB}$ .

Supondo que AB não é paralelo ao eixo Ox, sendo X_a, X_c e X_b as abscissas de A, C e B, respectivamente, e Y_a, Y_c, Y_b as ordenadas de A, C e B, respectivamente, temos pela semelhança dos triângulos TAC e RCB que:

$r=\frac{x_a-x_c}{x_c-x_b}\, \textup{e}\, \frac{y_a-y_b}{y_c-y_b}$

Baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo.

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

$\overline{AG}=2\overline{GN}$
$G-A=2(N-G)$
$G-A=2N-2G,\, \textup{onde}\, N=\frac{B+C}{2}$
$3G=A+2N$
$3G=A+B+C$
$G=\frac{A+B+C}{3}$

Assim, podemos dizer que para qualquer três pontos A(xᴬ , yᴬ ), B(xᴮ, yᴮ) e C(xᶜ, yᶜ) vértices de um triângulo, o baricentro G(xᴳ, yᴳ) desse triângulo é dado por

Xᴳ = Xᴬ + Xᴮ + Xᶜ /3 e yᴳ = yᴬ + yᴮ + yᶜ

Exercício Resolvido

02. Determine o baricentro do triângulo A (2, 5) , B (–1, 0) e C (5, –2).

Resolução:

$G=\frac{A+B+C}{3}$
$G=\frac{(2,5)+(-1,0)+(5,-2)}{3}$
$G=\frac{6,3}{3}$
$G=(2,1)$

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Situação 1

Você saberia responder qual é a distância entre os pontos A e B? E entre os pontos C e D?

É possível observar que a distância de A e B são de 4 unidades, que seria o comprimento no segmento AB. Tal distância pode ser calculada como o módulo da diferença entre as abscissas de A e B, isto é, AB = | 6 – 2 |
ou AB = | 2 – 6 |, ou simplesmente, a abscissa maior menos a menor, AB = 6 – 2 = 4.

De maneiro análoga, a distância entre os pontos C e D, pode ser calculada da seguinte maneira: CD = | 4 – (- 2) | = 6

Para calcularmos a distância entre os pontos A e B basta calcular o módulo do vetor $\overrightarrow{AB}$ ou simplesmente ter a visão analítica e fazer a distância entre dois pontos.

Situação 2

Para calcular tal distância entre A e B, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. Veja abaixo:

Assim, podemos dizer que a distância entre qualquer dois pontos A(xᴬ , yᴬ) e B(xᴮ, yᴮ) é dado por:

d² = (xᴮ – xᴬ)² + (yᴮ – yᴬ)²

d = √(xᴮ – xᴬ)² + (yᴮ – yᴬ)²

Exercício resolvido

03. Determine a distância entre os pontos A(-1,4) e B(3,7).

Resolução:

Utilizando vetores podemos determinar o vetor e calcular o seu módulo.

$\overrightarrow{AB}=B-A=[3-(-1),7-4]$
$\overrightarrow{AB}=(4,3)$
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{a^2+b^2}$
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2}$
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{25}$
$|\overrightarrow{AB}|=5$

Logo, a distância entre os pontos A e B é igual a 5.

Ou simplesmente podemos utilizar a relação:

$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$d=\sqrt{(3-(-1))^2+(7-4)^2}$
$d=\sqrt{(4)^2+(3)^2}$
$d=\sqrt{25}=5$

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

Os pontos A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e C(x_C,y_C) estarão alinhados se, e somente se:

$\begin{vmatrix} x_A &y_A &1 \\ x_B & y_B &1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}$

ÁREA DO TRIÂNGULO

Caso três pontos não estejam alinhados, com certeza estarão formando um triângulo cuja área pode ser calculada por:

ÁLGEBRA LINEAR

SEGMENTO ORIENTADO

O segmento de reta orientado de origem em A e extremidade em B, será representado por $\\overrightarrow{AB}$ e geometricamente representado por:

Caracterizado pelo sentido do segmento.

A distância de A até B (comprimento do segmento) é chamado de módulo do segmento orientado e representado por $|\\overrightarrow{AB}|$ |.

A direção de $\overrightarrow{AB}$ é a direção da reta suporte do segmento, e o seu sentido é representado pela flecha ( $\overrightarrow{AB}$ , de A para B).

SEGMENTOS ORIENTADO EQUIPOLENTES

Se dois ou mais segmentos orientados têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, serão ditos segmentos equipolentes.

VETOR

Vetor $\vec{v}$ determinado por um segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ é o conjunto de todos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento $\overrightarrow{AB}$ .