Geometria analítica – Circunferência
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Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância r de um ponto fixo O, chamado de centro.
Se O(a,b) e P(x,y), teremos:
Equação reduzida da circunferência
(x – a)2 + (y –b)2 = r2
Se desenvolvermos os S produtos notáveis encontraremos:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação geral da circunferência de centro O (a,b) e raio r, pode ser escrito como:
x²+ y²- 2ax – 2by + a²+b²- r²= 0
que poderá ser representada na forma:
x2 + y2 + mx + ny + p = 0
Para determinar a equação de uma circunferência com centro em C(-2, 5) e raio 3, teríamos a equação reduzida (x + 2)² + (y – 5)² = 9, que poderá ser escrita na forma geral:
x² + y² + 4x – 10y + 20 = 0.
COMPLETANDO OS QUADRADOS
Analisando o processo inverso que acabamos de verificar acima, iremos descobrir agora qual é a circunferência representada pela equação na forma geral dada (e saber de fato se a equação irá representar uma circunferência ou não).
Será utilizado um processo prático que consiste em completar os quadrados para assim podermos reescrever a equação na sua forma reduzida.
Dada a equação x² + y² + 4x – 4y – 17 = 0 iremos agrupar os termos em x e em y e isolar o termo livre (x² + 4x + … +y² – 4y + … = 17) Perceba que no primeiro membro estão faltando dois números reais que completam dois quadrados perfeitos, que seriam os números 4 e 4, e que deverão também ser adicionados ao segundo membro da equação.
Assim, teríamos:
x² + 4x + 4 + y² – 4y + 4 = 17 + 4 + 4
(x + y)² + (y – 2)² = 25
que é a equação que representa uma circunferência de centro (-2, 2) e raio 5.
ANALISANDO OS COEFICIENTES
Como vimos no exemplo acima, podemos escrever a equação da circunferência da forma Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 com coeficientes reais. Mas nem sempre isso é possível.
Agora tomando a equação geral da circunferência x² + y² – 2ax – by + a² + b² – r² = 0, vamos analisar as condições para que os coeficientes dessa equação represente uma circunferência.
Primeiro, vamos dividir toda a equação
Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 por A ≠ 0
x² + By² /A + Cxy/A + Dx/A + Ey/A + F/A = 0
Abaixo uma figura comparando cada coeficiente com a equação geral da circunferência, com isso iremos obter as relações:
Essas relações servirão para determinar se realmente a equação dada é de uma circunferência ou não. Caso seja, poderá determinar as coordenadas do centro e o raio.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA
Seja uma circunferência qualquer de equação x2 + y2 + mx +ny + k = 0 com centro em (a, b) e um ponto P qualquer de coordenadas (x, y). Podemos representá-los de três formas possíveis:
1º Caso → Ponto exterior → dᵖᵒ > r
Representado pela inequação (x – a)2 + (y – b)2 > r2
2º Caso → Ponto pertencente a circunferência → dᵖᵒ= r
Representado pela equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2
3º Caso → Ponto interior → dᵖᵒ< r
Representado pela inequação (x – a)2 + (y – b)2 < r2
OBSERVAÇÃO
Circunferência com centro na origem:
C(0,0) a = 0 e b = 0
Equação Geral : x2 + y2 = r2
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE CIRCUNFERÊNCIA E RETA
Seja uma circunferência qualquer de equação x2 + y2 + mx +ny + k = 0 com centro em O(w, t) e uma reta s qualquer de equação ax + by + c = 0.
Podemos representá-las de três formas possíveis:
1º Caso → Reta tangente à circunferência.
2º Caso → Reta secante à circunferência.
3º Caso → Reta exterior à circunferência.
OBSERVAÇÃO: Uma outra maneira de descobrirmos as posições relativas entre reta e circunferência é resolvendo o sistema.
{ ax + by + c = o
{ x² + y² + mx + ny + k = 0
Que resultará em uma equação de 2º grau onde:
• D > 0 → reta secante (dois pontos comuns).
• D = 0 → reta tangente (um ponto comum).
• D < 0 → reta exterior (sem ponto comum).
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
TANGENTES EXTERNAS
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A distância entre os centros é igual à soma das medidas de seus raios.
TANGENTES INTERNAS
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.
CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS.
Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.
CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES.
Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.
CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS.
Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A distância entre os centros das circunferências deve ser maior que zero e menor que a diferença entre as medidas de seus raios.
CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS.
Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.
COMO ÁREA DE CIRCUNFERÊNCIAS PODE CAIR NO ENEM?
Quando se deseja pintar uma determinada superfície plana, muitas das vezes se faz necessário o cálculo volumétrico da quantidade de tinta necessária. Para isso é necessário ter o conhecimento das principais áreas de figuras planas bem como as equações de retas e curvas tal qual a questão a seguir.
Exercício Resolvido
01. Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma destas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x² + y² – 8x – 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas placas e que é necessária uma lata de tinta para pintar 3m² de placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha?
a) 12
b) 24
c) 26
d) 32
e) 48
Resolução: C
(x² – 4 · x + 16) – 16 + (y²- 4 · y + 16) – 16 + 28 ≤ 0
(x – 4)² + (y – 4)² ≤ 2² → Círculo de raio r = 2 e centro O (0, 0)
Área de cada placa → s = π · r² → s = π · 2² → s = 4 · π
Área das 12 placas → S = 12 · s → S = 48 · π
A reta y = x divide cada círculo ao meio.
Área a ser pintada em vermelho = 24 · π 75,4 m²
75,4/3 ≅ 25,1
Logo, serão necessárias 26 latas.
