FUNÇÃO DO 2º GRAU – Concavidade, discriminante, raízes e forma fatorada
Aprenda sobre Concavidade, Discriminante, Raízes e Forma Fatorada na Função de 2° grau.
INTRODUÇÃO
Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é toda
função f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c ∈ ℝ e a ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = x2 – 5x + 6
f(x) = -x2 + 4x + 3
f(x) = 2x2 – 18
f(x) = -3x2 + 5x
f(x) = x2
Observação
O gráfico de uma função do 2o grau é uma curva aberta chamada parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
Lembre-se: a forma fatorada do trinômio do 2o grau para f(x) = ax2 + bx + c é f(x) = a(x-x1)(x-x2), onde x1 e x2 são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0.
CONCAVIDADE
Dada a função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c Î IR e a ≠ 0, sua concavidade será:
INTERSEÇÕES COM OS EIXOS
Eixo y → x = 0
f(x) = ax2 + bx + c
f(0) = 0 + 0 + c
f(0) = c
logo o ponto é (0,c)
No gráfico:
O coeficiente c representa a interseção da parábola com o eixo y.
Eixo x → y = 0 (zero ou raiz da função)
f(x) = ax2 + bx + c
0 = ax2 + bx + c
ax2 + bx + c = 0 → Equação do 2o grau, logo, podemos admitir três situações distintas:
• 1º Caso: ∆ > 0 (Duas raízes reais e distintas)
Exemplo:
A parábola intercepta o eixo em dois pontos, (x’,0) e (x’’,0).
2º Caso: ∆ > 0 (Duas raízes reais e iguais)
Exemplo:
A parábola intercepta o eixo x em um único ponto (x’,0).
3º Caso: ∆ > 0 (Não existe raiz real)
Exemplo:
A parábola não intercepta o eixo x.
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Exemplo 1:
Esboce o gráfico da função y = x2 – 4x + 3
Concavidade para cima pois a = 1 > 0.
Intersecções com os eixos:
Eixo x → (0, c) = (0, 3)
Eixo y → x2 – 4x + 3 = 0
∆ = 16 – 12 = 4
(∆ > 0 duas raízes reais e distintas)
Gráfico
Exemplo 2:
Esboce o gráfico da função y = -x2 + 2x – 3
Concavidade para baixo pois a = -1 > 0.
Intersecções com os eixos:
Eixo y → (0, c) = (0, -3)
Eixo y → -x2 + 2x – 3 = 0
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
➘➘➘
➚➚➚
y = x2 + 2x – 3
x = 3 → y = -32 + 2(3) – 3
y = -6
Vamos precisar atribuir um valor para x para encontrarmos um outro ponto.
Quando os valores descobertos não forem suficientes para o esboço do gráfico podemos utilizar a tabelinha (atribuição de valores) como auxílio.
Gráfico:
IMAGEM
A imagem de uma função é a projeção do seu gráfico sobre o eixo y.
Então, nos exemplos acima teremos:
No exemplo 1 citado anteriormente teremos:
Im = {y 
IR / y ≤ -1}
No exemplo 2 citado anteriormente teremos:
Im = {y IR / y ≤ -3}
Logo, podemos generalizar para:
RESUMO GERAL
A figura acima representa A Função tem dois zeros reais diferentes, isto é, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.
A figura acima representa A função tem um zero real duplo, isto é, a parábola tangencia o eixo x.
A figura acima representa A função não tem zeros reais, isto é, a parábola não corta o eixo x.
