FUNÇÃO DO 1° GRAU – Técnicas para resolução de Problemas
Muitos problemas matemáticos podem ser resolvidos com o uso da função do 1º grau. No módulo anterior vimos como manipular ou encontrar uma função desse tipo e também reconhece-las.
Neste módulo aprenderemos duas técnicas muito relevantes na resolução de problemas do primeiro grau: a construção da função afim (resolução analítica) e a semelhança de triângulos (resolução gráfica).
Uma das formas mais simples de construção da função afim é a partir da sua taxa de variação (coeficiente angular) e de um valor fixo (coeficiente linear).
Muitos problemas podem ser resolvidos facilmente com essa interpretação.
Exemplo 1:
Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.
Função:
O preço será de R$ 16,10.
Nem sempre é possível escrever tão imediatamente a função afim com os dados do problema e por isso é preciso conhecer uma outra técnica que chamaremos de sistemas de primeiro grau. Observe no exemplo abaixo que serão fornecidas duas informações sobre a função. Usaremos as informações dadas para construir um sistema de duas equações e duas incógnitas (queremos descobrir os dois coeficientes da função, a e b).
O sistema que será montado sempre pode ser resolvido por mais de uma forma, sinta-se livre para fazê-lo da forma que se sentir mais confortável.
Após descobrir os valores dos coeficientes teremos a função afim pronta e podemos descobrir qualquer ponto dessa função.
Veja abaixo um exemplo que ilustra essa situação.
Exemplo 2:
(PUC-BH) A função linear R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses.
Resolução:
Portanto:
Na 1ª equação
Na 2ª equação
Substituindo a 1ª equação
Portanto, a função será:
O rendimento obtido nessa aplicação será de R$ 5 000,00.
Contudo quando há gráficos nas questões, podemos utilizar tudo que foi aprendido no módulo anterior para resolver o problema.
Exemplo 3:
(UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
a) 4,50
b) 5,00
c) 5,50
d) 6,00
Resolução: A
Solução 1: Coeficientes Lineares
Temos os pontos P(5, 150) e Q(30, 50).
Em, vez de fazer o sistema linear, podemos usar a fórmula do coeficiente linear:
a = ∆y
∆x
a = 50 – 150 / 30 – 5 = -100 / 5 = -4
Então temos a função: f(x) = – 4x+b
Para determinar o b, vamos usar qualquer ponto dado, por exemplo, o ponto Q(30, 50).
50 = -4(30) + b
b = 170
Chegamos então à função f(x) = – 4x + 170.
Como queremos saber o valor unitário quando vendemos 20 bolsas, usaremos x = 20
f(20) = – 4 · 20 + 170 = 90
Cada bolsa vale então 90/20 = 4,50
Solução 2: Semelhança
Construímos dois triângulos retângulos a partir dos pontos do gráfico e calculamos suas bases e alturas, como na figura abaixo:
Agora basta aplicar o conhecimento geométrico de semelhança:
100/150 – y = 25/15
150 – y = 60
y = 90
Pagamos então 90 reais por 20 bolsas, o que dá o preço unitário de 90/20 = 4,50
Exemplo 3:
(ENEM -2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é
a) L(t) = 20t + 3 000
b) L(t) = 20t + 4 000
c) L(t) = 200t
d) L(t) = 200t – 1 000
e) L(t) = 200t + 3 000
Resolução: D
O termo independente b é o ponto em que a função corta o eixo y, portanto b = – 1000
O coeficiente linear pode ser calculado através da tangente da função:
Exemplo 4:
(ENEM 2016) O percentual da população brasileira conectada à internet aumentou nos anos de 2007 a 2011. Conforme dados do Grupo Ipsos, essa tendência de crescimento é mostrada no gráfico.
Suponha que foi mantida, para os anos seguintes, a mesma taxa de crescimento registrada no período 2007-2011.
A estimativa para o percentual de brasileiros conectados à internet em 2013 era igual a:
a) 56,40%.
b) 58,50%.
c) 60,60%.
d) 63,75%.
e) 72,00%.
Resolução: B
Como tem o gráfico, optamos por semelhança. Completando o gráfico, teremos o seguinte:
Agora, aplicando a semelhança, chegamos a seguinte equação:
4/6 = 21/y-27
2/3 = 21/y-27
63 = 2y – 54
2y = 117
y = 58,5
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS
MÉTODO DA ADIÇÃO
1º exemplo:
{ x-y = 3
{ x+y = 5
Observa-se que os coeficientes da variável y são opostos. Dessa forma, adicionando membro a membro as equações, temos:
(x – y) + (x + y) = 3 + 5
2x = 8
x = 4
Substituindo x em qualquer uma das equações:
x – y = 3
4 – y = 3
y = 1
Logo a solução do sistema é o par ordenado (4, 1).
2º exemplo:
{ 2x + y = 7
{ 5x – 3y = 1
Neste sistema precisaremos fazer uma adaptação antes de somar as equações.
Multiplicaremos todos os termos da primeira equação por 3, de modo que os coeficientes de y ficarão simétricos.
{6x + 3y = 21
{ 5x – 3y = 1
Agora, adicionando membro a membro, vem:
(6x + 3y) + (5x – 3y) = 21 + 1
11x = 22
x = 2
Substituindo x em qualquer uma das equações:
2x + y = 7
2·2 + y = 7
4 + y = 7
y = 3
Logo a solução do sistema é o par ordenado (2, 3).
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Outro método bastante utilizado é o método da substituição, que consiste no isolamento de uma das incógnitas numa equação e a substituição da expressão obtida na outra equação. Observe que os métodos são opcionais, qualquer outro método pode ser utilizado.
Observe a resolução do exemplo anterior agora pelo método da substituição.
{ 2x + y = 7
{ 5x – 3y = 1
Isolando o y na primeira equação, temos:
y = 7 – 2x
Substituindo essa expressão na segunda equação, temos:
5x – 3y = 1
5x – 3(7 – 2x) = 1
5x – 21 + 6x = 1
11x = 22
x = 2
Substituindo em qualquer equação obtemos o valor de y assim como na técnica anterior
