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Estatística – Medidas de Tendência Central

Estatística – Medidas de Tendência Central

Aprenda mais sobre Estatísticas. 

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Muitas vezes será mais prático usar um número para representar um conjunto de números. Em geral, é um número que assume perfeitamente as características de todo o conjunto, ou de pelo menos a grande maioria desses números. Ele é um representante desse conjunto. E é isso que as medidas de tendência central fazem.

MÉDIA ARITMÉTICA

Definiremos média aritmética (simples) de uma lista de n números x1, x2, … ,xn por

Exemplo:

A média aritmética entre os números 13, 17 e 24 é

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Acabamos de ver como calcular a média aritmética simples dos números   x1, x2, … ,xn. Suponha agora que o número  x1 ocorre p1 vezes, o número x2 ocorre p2 vezes e assim sucessivamente até o número xn ocorre pn vezes. A média aritmética desses números é:

Dizemos que essa média é ponderada e que as frequências p1, p2, … , pn dos números   respectivamente são os pesos desses números.

Podemos escrever então que a média aritmética ponderada é:

Exemplo:

Num bimestre, um professor de Matemática aplicou 3 provas com pesos 1, 2 e 3. As notas de Davi foram 5,0; 6,5; 8,0. Qual será a média?

Resolução:

1a prova: 5,0 com peso 1

2a prova: 6,5 com peso 2

3a prova: 8,0. Com peso 3

MEDIA GEOMÉTRICA

Se a característica é o produto dos elementos, obteremos a média geométrica. A média geométrica do produto de uma lista de n termos positivos x1, x2, …, xn é o valor Mg tal que

.

Portanto, a média geométrica é definida por

.

Exemplo:

A média geométrica entre 3, 36 e 54 é Mᵍ = ³√3.36.54 = 18.

MÉDIA HARMÔNICA

Dado um conjunto de valores não nulos, os elementos X¹, X², X³, …, Xⁿ, define-se a média harmônica (Mⁿ) desses valores pela relação:

Isto é, a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos de X¹, X², X³,…, Xⁿ

Exemplo:

Determine a média geométrica dos números 1, 2 e 3:

MEDIANA

Se o número de elementos da distribuição é ímpar, Mediana é a medida que ocupa a posição central num conjunto de dados ordenados, ou a média aritmética simples dos dois valores centrais se o número de elementos é par. Representaremos a mediana por Me

Exemplos:

A) Durante uma semana, um pesquisador coletou a temperatura média diária numa cidade e obteu 20°C, 25°C, 23°C, 23°C, 18°C, 19°C e 22°C.

Note que o número de elementos é ímpar, logo existe um termo central.

Colocando em ordem a amostra temos: 18 – 19 – 20 – 22 – 23 – 23 – 25.

Observemos que o termo que ocupa a posição central é o 22.

Logo a mediana será Me = 20 .

B) Se a amostra coletada fosse 18 – 19 – 20 – 22 – 23 – 23, observe que temos agora dois termos centrais, dessa maneira a mediana será a média aritmética entre esses termos centrais. Logo a mediana será.

MODA

Em uma amostra, Moda é o valor que aparece mais vezes. Representaremos a amostra por Mo.

Exemplos:

A) Num determinado concurso, foram coletadas notas de uma determinada parcela dos candidatos. As notas foram: 4, 6, 9, 6, 6, 3, 6 e 9

Colocando-os em ordem, obtemos 3, 4, 6, 6, 6, 9 e 9.

Neste caso, o valor mais frequente é 6, ou seja, a moda é igual a 6.

B) Determine a moda na sequência: 0, 1, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7 e 9.

Nesse caso 4 e 7 aparecem com mais frequência e o mesmo número de vezes. Dizemos que a amostra é bimodal e que a amostra é 4 e 7.

C) Determine a moda na sequência: 1, 4, 5, 7, 9 e 10.

Note que nessa sequência não existe um elemento que mais se repete. Logo não existe moda. Uma amostra que não possui moda é chamada de amostra amodal.

OBSERVAÇÃO

Caso possua 3 ou mais valores de maior frequência, a amostra é chamada de plurimodal.

APROFUNDANDO

Desigualdade das médias

Mostraremos a seguir que, das médias apresentadas nesse módulo, temos que Ma ≥ Mg ≥ Mh.

I. Ma ≥ Mg

a > 0 e b > 0.

II. Mg ≥ Mh

a > 0 e b > 0..

Visão geométrica

Geometricamente, podemos observar que:

Sabemos que todo triângulo retângulo é inscrito em um semicírculo. Seja triângulo retângulo ABC, de catetos b e c e projeções m e n respectivamente (BG = x e CG = y). O raio AO é a média aritmética entre m e n, o segmento AG é a média geométrica entre eles e o segmento AH é a média harmônica entre x e y. Portanto, podemos ver geometricamente que a média aritmética é maior que a média geométrica ou igual a ela que é maior ou igual que média harmônica. Ou seja, MA ≥ MG ≥ MH.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (FAMERP) Sendo x um número inteiro, a mediana do conjunto {3, 7, 2, -3, 13, 9, -1, x} de oito números é igual a 2.
Dessa forma, x é igual a

a) 7.
b) 3.
c) 4.
d) 6.
e) 5.

Resolução: C

-3 – 1 2 3 7 9 13 

Termo Central = 3 

Mediana = 3 + x /2 = 7/2 ⇒ x = 4

02. (UEG) A tabela a seguir apresenta a distribuição dos pontos de uma avaliação realizada com 100 alunos.

Analisando-se os dados dessa tabela, a média do número de pontos desses alunos é igual a

a) 5,0
b) 5,1
c) 5,2
d) 5,4
e) 5,5

Resolução: B

03. (UPE-SSA 1) As idades dos atletas que participaram da Seleção Brasileira Masculina de Basquete, convocados para a preparação dos Jogos Olímpicos 2016, variaram de 24 a 36 anos, como se pode observar na tabela a seguir:

De acordo com a tabela, a média, a mediana e a moda dessas idades são, respectivamente:

a) 30,5; 32,5 e 33
b) 31; 32 e 33
c) 31,5; 31 e 33
d) 30,5; 31 e 24
e) 31; 24 e 33

Resolução: A

= 30,5

Mediana = 32 + 33/2 = 32,5

E a moda é o termo que aparece mais, portanto, 33 anos.
Logo, a alternativa correta é a A.

04. (ENEM) A avaliação de rendimento de alunos de um curso universitário baseia-se na média ponderada das notas obtidas nas disciplinas pelos respectivos números de créditos, como mostra o quadro:

Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado período letivo, maior sua prioridade na escolha de disciplinas para o período seguinte.

Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação “Bom” ou “Excelente” conseguirá matrícula nas disciplinas que deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5 disciplinas em que está matriculado, mas ainda não realizou a prova da disciplina I, conforme o quadro.

Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve conseguir na disciplina I é

a) 7,00.
b) 7,38.
c) 7,50.
d) 8,25.
e) 9,00.

A figura abaixo representa a resolução da questão cujo o Gabarito é D. 

05. (ENEM) Um posto de saúde registrou a quantidade de vacinas aplicadas contra febre amarela nos últimos cinco meses:

• 1º mês 21;
• 2º mês: 22;
• 3º mês: 25;
• 4º mês: 31;
• 5º mês: 21.

No início do primeiro mês, esse posto de saúde tinha 228 vacinas contra febre amarela em estoque. A política de reposição do estoque prevê a aquisição de novas vacinas, no início do sexto mês, de tal forma que a quantidade inicial em estoque para os próximos meses seja igual a 12 vezes a média das quantidades mensais dessas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses.

Para atender essas condições, a quantidade de vacinas contra febre amarela que o posto de saúde deve adquirir no início do sexto mês é

a) 156.
b) 180.
c) 192.
d) 264.
e) 288.

Resolução: B 

21 + 22 + 25 + 31 + 21/5 = 24

Portanto, a quantidade inicial em estoque deve ser igual a 12 ⋅ 24 = 288 unidades e, assim, a quantidade de vacinas
contra febre amarela que o posto de saúde deve adquirir no início do sexto mês é 288 – (228-120) = 180.

06. (ENEM) A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo, caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.

Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre?

a) 26
b) 29
c) 30
d) 31
e) 35

Resolução: E

21 + 35 + 21 + 30 + 38 + L /6 > 30

⇔ 145 + L > 180

⇔ L > 35.

07. (UNISINOS) Dados a e b, números reais positivos distintos, definimos as médias aritmética, geométrica e heroniana de a e b como sendo, respectivamente, A = a + b/2 , G = √ab e H = a + b + √ab/3

A partir das definições acima, é correto afirmar que,

a) A < G < H
b) A < H < G
c) G < A < H
d) G < H < A
e) H < G < A

Resolução: D
Desde que a > 0 e b > 0 e a ≠ b, temos

I. (√a – √b)² > 0 ⇔ a – 2√ab + b > 0 ⇔ a + b/2 > √ab ⇔ A > G

II. a + b > 2√ab ⇔ a + b + √ab >  2√ab + √ab

⇔ a + b + √ab/3 > √ab ⇔ H > G

III. a + b 2√ab  ⇔ a + b + 2a + 2b > 2a + 2b + 2√ab ⇔

⇔ 3(a + b) > 2(a + b + √ab) ⇔ a + b/2 > a + b + √ab/3 ⇔ A > H.

Logo, temos A > H > G.

08. (FGV) Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P¹, P², P³) cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso da prova Pⁿ é igual a n² . Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4.

De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P³ , no mínimo, nota

a) 7,6.
b) 7,9.
c) 8,2.
d) 8,4.
e) 8,6.

A figura abaixo representa a resolução da questão cujo o Gabarito é D.

09. (INSPER) Sejam x e y dois números reais positivos.

Definimos as seguintes médias:

• média aritmética, denotada por MA(x,y), calculada como a metade da soma entre x e y;

• média geométrica, denotada por MG(x, y), calculada como a raiz quadrada do produto entre x e y;

• média harmônica, denotada por MH(x, y), calculada como o inverso da média aritmética entre os inversos de x e y;

Sejam a e b dois números reais e positivos tais que MH(a, b) = A. O valor de a em função de b e a condição que se deve impor sobre o valor de b para que isso aconteça são, respectivamente,

a) Ab/2b – A e b > A/2

b) Ab/2b – A e b < A/2

c) A/2 e b > 1/A

d) A/2 e b < 1/A

e) a = 2A – b e b > 0

Resolução: A 

A figura acima representa a resolução da questão cujo Gabarito é a letra A.

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