Estatística – Medidas de Tendência Central
Aprenda mais sobre Estatísticas.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Muitas vezes será mais prático usar um número para representar um conjunto de números. Em geral, é um número que assume perfeitamente as características de todo o conjunto, ou de pelo menos a grande maioria desses números. Ele é um representante desse conjunto. E é isso que as medidas de tendência central fazem.
MÉDIA ARITMÉTICA
Definiremos média aritmética (simples) de uma lista de n números x1, x2, … ,xn por
Exemplo:
A média aritmética entre os números 13, 17 e 24 é
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Acabamos de ver como calcular a média aritmética simples dos números x1, x2, … ,xn. Suponha agora que o número x1 ocorre p1 vezes, o número x2 ocorre p2 vezes e assim sucessivamente até o número xn ocorre pn vezes. A média aritmética desses números é:
Dizemos que essa média é ponderada e que as frequências p1, p2, … , pn dos números respectivamente são os pesos desses números.
Podemos escrever então que a média aritmética ponderada é:
Exemplo:
Num bimestre, um professor de Matemática aplicou 3 provas com pesos 1, 2 e 3. As notas de Davi foram 5,0; 6,5; 8,0. Qual será a média?
Resolução:
1a prova: 5,0 com peso 1
2a prova: 6,5 com peso 2
3a prova: 8,0. Com peso 3
MEDIA GEOMÉTRICA
Se a característica é o produto dos elementos, obteremos a média geométrica. A média geométrica do produto de uma lista de n termos positivos x1, x2, …, xn é o valor Mg tal que
.
Portanto, a média geométrica é definida por
.
Exemplo:
A média geométrica entre 3, 36 e 54 é Mᵍ = ³√3.36.54 = 18.
MÉDIA HARMÔNICA
Dado um conjunto de valores não nulos, os elementos X¹, X², X³, …, Xⁿ, define-se a média harmônica (Mⁿ) desses valores pela relação:
Isto é, a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos de X¹, X², X³,…, Xⁿ
Exemplo:
Determine a média geométrica dos números 1, 2 e 3:
MEDIANA
Se o número de elementos da distribuição é ímpar, Mediana é a medida que ocupa a posição central num conjunto de dados ordenados, ou a média aritmética simples dos dois valores centrais se o número de elementos é par. Representaremos a mediana por Me
Exemplos:
A) Durante uma semana, um pesquisador coletou a temperatura média diária numa cidade e obteu 20°C, 25°C, 23°C, 23°C, 18°C, 19°C e 22°C.
Note que o número de elementos é ímpar, logo existe um termo central.
Colocando em ordem a amostra temos: 18 – 19 – 20 – 22 – 23 – 23 – 25.
Observemos que o termo que ocupa a posição central é o 22.
Logo a mediana será Me = 20 .
B) Se a amostra coletada fosse 18 – 19 – 20 – 22 – 23 – 23, observe que temos agora dois termos centrais, dessa maneira a mediana será a média aritmética entre esses termos centrais. Logo a mediana será.
MODA
Em uma amostra, Moda é o valor que aparece mais vezes. Representaremos a amostra por Mo.
Exemplos:
A) Num determinado concurso, foram coletadas notas de uma determinada parcela dos candidatos. As notas foram: 4, 6, 9, 6, 6, 3, 6 e 9
Colocando-os em ordem, obtemos 3, 4, 6, 6, 6, 9 e 9.
Neste caso, o valor mais frequente é 6, ou seja, a moda é igual a 6.
B) Determine a moda na sequência: 0, 1, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7 e 9.
Nesse caso 4 e 7 aparecem com mais frequência e o mesmo número de vezes. Dizemos que a amostra é bimodal e que a amostra é 4 e 7.
C) Determine a moda na sequência: 1, 4, 5, 7, 9 e 10.
Note que nessa sequência não existe um elemento que mais se repete. Logo não existe moda. Uma amostra que não possui moda é chamada de amostra amodal.
OBSERVAÇÃO
Caso possua 3 ou mais valores de maior frequência, a amostra é chamada de plurimodal.
APROFUNDANDO
Desigualdade das médias
Mostraremos a seguir que, das médias apresentadas nesse módulo, temos que Ma ≥ Mg ≥ Mh.
I. Ma ≥ Mg
a > 0 e b > 0.
II. Mg ≥ Mh
a > 0 e b > 0..
Visão geométrica
Geometricamente, podemos observar que:
Sabemos que todo triângulo retângulo é inscrito em um semicírculo. Seja triângulo retângulo ABC, de catetos b e c e projeções m e n respectivamente (BG = x e CG = y). O raio AO é a média aritmética entre m e n, o segmento AG é a média geométrica entre eles e o segmento AH é a média harmônica entre x e y. Portanto, podemos ver geometricamente que a média aritmética é maior que a média geométrica ou igual a ela que é maior ou igual que média harmônica. Ou seja, MA ≥ MG ≥ MH.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. (FAMERP) Sendo x um número inteiro, a mediana do conjunto {3, 7, 2, -3, 13, 9, -1, x} de oito números é igual a 2.
Dessa forma, x é igual a
a) 7.
b) 3.
c) 4.
d) 6.
e) 5.
Resolução: C
-3 – 1 2 3 7 9 13
Termo Central = 3
Mediana = 3 + x /2 = 7/2 ⇒ x = 4
02. (UEG) A tabela a seguir apresenta a distribuição dos pontos de uma avaliação realizada com 100 alunos.
Analisando-se os dados dessa tabela, a média do número de pontos desses alunos é igual a
a) 5,0
b) 5,1
c) 5,2
d) 5,4
e) 5,5
Resolução: B
03. (UPE-SSA 1) As idades dos atletas que participaram da Seleção Brasileira Masculina de Basquete, convocados para a preparação dos Jogos Olímpicos 2016, variaram de 24 a 36 anos, como se pode observar na tabela a seguir:
De acordo com a tabela, a média, a mediana e a moda dessas idades são, respectivamente:
a) 30,5; 32,5 e 33
b) 31; 32 e 33
c) 31,5; 31 e 33
d) 30,5; 31 e 24
e) 31; 24 e 33
Resolução: A
= 30,5
Mediana = 32 + 33/2 = 32,5
E a moda é o termo que aparece mais, portanto, 33 anos.
Logo, a alternativa correta é a A.
04. (ENEM) A avaliação de rendimento de alunos de um curso universitário baseia-se na média ponderada das notas obtidas nas disciplinas pelos respectivos números de créditos, como mostra o quadro:
Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado período letivo, maior sua prioridade na escolha de disciplinas para o período seguinte.
Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação “Bom” ou “Excelente” conseguirá matrícula nas disciplinas que deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5 disciplinas em que está matriculado, mas ainda não realizou a prova da disciplina I, conforme o quadro.
Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve conseguir na disciplina I é
a) 7,00.
b) 7,38.
c) 7,50.
d) 8,25.
e) 9,00.
A figura abaixo representa a resolução da questão cujo o Gabarito é D.
05. (ENEM) Um posto de saúde registrou a quantidade de vacinas aplicadas contra febre amarela nos últimos cinco meses:
• 1º mês 21;
• 2º mês: 22;
• 3º mês: 25;
• 4º mês: 31;
• 5º mês: 21.
No início do primeiro mês, esse posto de saúde tinha 228 vacinas contra febre amarela em estoque. A política de reposição do estoque prevê a aquisição de novas vacinas, no início do sexto mês, de tal forma que a quantidade inicial em estoque para os próximos meses seja igual a 12 vezes a média das quantidades mensais dessas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses.
Para atender essas condições, a quantidade de vacinas contra febre amarela que o posto de saúde deve adquirir no início do sexto mês é
a) 156.
b) 180.
c) 192.
d) 264.
e) 288.
Resolução: B
21 + 22 + 25 + 31 + 21/5 = 24
Portanto, a quantidade inicial em estoque deve ser igual a 12 ⋅ 24 = 288 unidades e, assim, a quantidade de vacinas
contra febre amarela que o posto de saúde deve adquirir no início do sexto mês é 288 – (228-120) = 180.
06. (ENEM) A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo, caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre?
a) 26
b) 29
c) 30
d) 31
e) 35
Resolução: E
21 + 35 + 21 + 30 + 38 + L /6 > 30
⇔ 145 + L > 180
⇔ L > 35.
07. (UNISINOS) Dados a e b, números reais positivos distintos, definimos as médias aritmética, geométrica e heroniana de a e b como sendo, respectivamente, A = a + b/2 , G = √ab e H = a + b + √ab/3
A partir das definições acima, é correto afirmar que,
a) A < G < H
b) A < H < G
c) G < A < H
d) G < H < A
e) H < G < A
Resolução: D
Desde que a > 0 e b > 0 e a ≠ b, temos
I. (√a – √b)² > 0 ⇔ a – 2√ab + b > 0 ⇔ a + b/2 > √ab ⇔ A > G
II. a + b > 2√ab ⇔ a + b + √ab > 2√ab + √ab
⇔ a + b + √ab/3 > √ab ⇔ H > G
III. a + b 2√ab ⇔ a + b + 2a + 2b > 2a + 2b + 2√ab ⇔
⇔ 3(a + b) > 2(a + b + √ab) ⇔ a + b/2 > a + b + √ab/3 ⇔ A > H.
Logo, temos A > H > G.
08. (FGV) Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P¹, P², P³) cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso da prova Pⁿ é igual a n² . Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4.
De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P³ , no mínimo, nota
a) 7,6.
b) 7,9.
c) 8,2.
d) 8,4.
e) 8,6.
A figura abaixo representa a resolução da questão cujo o Gabarito é D.
09. (INSPER) Sejam x e y dois números reais positivos.
Definimos as seguintes médias:
• média aritmética, denotada por MA(x,y), calculada como a metade da soma entre x e y;
• média geométrica, denotada por MG(x, y), calculada como a raiz quadrada do produto entre x e y;
• média harmônica, denotada por MH(x, y), calculada como o inverso da média aritmética entre os inversos de x e y;
Sejam a e b dois números reais e positivos tais que MH(a, b) = A. O valor de a em função de b e a condição que se deve impor sobre o valor de b para que isso aconteça são, respectivamente,
a) Ab/2b – A e b > A/2
b) Ab/2b – A e b < A/2
c) A/2 e b > 1/A
d) A/2 e b < 1/A
e) a = 2A – b e b > 0
Resolução: A
