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Estatística – Medidas de Dispersão

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Estatística – Medidas de Dispersão

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

Medir a dispersão é analisar o quanto os valores de um conjunto se afastam de uma regularidade. É verificar o quanto os elementos de um conjunto respeitam um padrão. Veremos a seguir os conceitos de variância e desvio padrão, que são medidas de dispersão, que indicam a regularidade de um conjunto de dados, em função da média aritmética.

DESVIO MÉDIO

Se $\bar{X}$ é a média aritmética de uma amostra de números x₁, x₂, … , xn, chama-se desvio absoluto médio o número:

$Dam=\frac{|x_1-\bar{X}|+|x_2-\bar{X}|+...+|x_n-\bar{X}|}{n}$

Exercício resolvido

01. A tabela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$, nos 12 meses de 2013.

a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) dessa série.

b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro de 2013 até janeiro de 2014) passou a ter mediana de 18 bilhões de US$, e um número inteiro de bilhões de US$ como média mensal. Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.

Dado: Desvio Médio = $\frac{\sum_{n}^{i-1}|x_1-\bar{x}|}{n}$ , sendo $\bar{x}$ a média aritmética.

Resolução:

A) A média:

$\begin{matrix} \bar{x}=\sum_{i-1}^{12}xi=\frac{21+24+20+23+22+22+18+17+16+18}{12}=\frac{234}{12}=19\cdot 5 & \\ & \end{matrix}$

A moda:

São os valores: 16, 17, 18 e 22, pois estes valores aparecem duas vezes cada na série apresentada acima

A mediana:

Colocando os números em ordem crescente, temos:

(16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24)

Logo, $Md=\frac{18+20}{2}=19$

Maior taxa de crescimento:

Ocorreram aumentos entre:

$JAN\, \textup{e}\, FEV\Rightarrow \frac{24-21}{21}\cdot 100\cong 14,24\%$
$MAR\, \textup{e}\, ABR\Rightarrow \frac{23-20}{20}\cdot 100\cong 15\%$

Portanto, a maior taxa mensal de crescimento ocorreu entre Março e Abril.

B) A média:

$\begin{matrix} \bar{x}=\sum_{i-1}^{13}=\frac{21+24+20+23+22+22+18+17+16+17+16+18+x}{13}=\frac{234+x}{13} & \\ & \end{matrix}\Rightarrow \textup{n\'umero inteiro}$

A mediana:

Em ordem crescente, e sabendo que a mediana é 18, temos que em Jan de 2014 o valor é menor ou igual a 18. Portanto, considerando estes fatos, temos que x vale 13, pois dará um número divisível por 13.

Observe:

(13, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24) que nos dá mediana 18.

E média mensal:

$\begin{matrix} \bar{x}=\sum_{i-1}^{13}x_1=\frac{21+24+20+23+22+22+18+17+16+17+16+18+13}{13}=\frac{247}{13}=19 & \\ & \end{matrix}$

Cálculo do Desvio Médio = $\frac{\sum_{n}^{i-1}|x_1-\bar{x}|}{n}$ /> , sendo $\bar{x}$ a média aritmética.

$=\frac{|13-19|+2|16-19|+2|17-19|+2|18-19|+|20-19|+|21-19|+2|22-19|+|23-19|+|24-19|}{13}$
$=\frac{6+ 6+4+2+1+2+6+4+5}{13}$
$=\frac{36}{13}$

VARIÂNCIA

Considere uma amostra representada por {x₁, x₂, …., x_n} de n observações numéricas. A variância de uma população (Var(x)) é definida por:

$Var(x)=\frac{(x_1-\bar{X})^2+(x_2-\bar{X})^2+...+(x_n-\bar{X})^2}{n}$

Onde $\bar{X}$ é a média aritmética da distribuição.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

02. Três pessoas irão disputar um emprego em uma empresa multinacional. Após a entrevista, onde os três foram bem, a empresa decidiu colocá-los para fazer uma prova sobre assuntos relativos ao trabalho que executarão. Cada candidato fará cinco provas. Ao final das cinco provas, os três candidatos tiveram a mesma média, e dessa forma a empresa optou por selecionar o candidato com uma maior regularidade de conhecimento sobre os assuntos, contratando então o candidato com a menor variância.

As notas dos candidatos foram:

Candidato 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0.

Candidato 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0.

Candidato 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.

Note que as médias dos candidatos são

$\bar{X}_1=\frac{6+6+6+6+6}{5}=6$

$\bar{X}_2=\frac{6+7+6+5+6}{5}=6$

$\bar{X}_2=\frac{8+7+6+5+4}{5}=6$

Calculemos a variância dos Grupos 1, 2 e 3.

$Var_1(x)=\frac{(6-6)^2+(6-6)^2+(6-6)^2+(6-6)^2+(6-6)^2}{5}$

$\begin{matrix} Var_2(x)=\frac{(6-6)^2+(7-6)^2+(6-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2}{5}=\frac{2}{5}=0,4 & \\ & \end{matrix}$

$\begin{matrix} Var_3(x)=\frac{(8-6)^2+(7-6)^2+(6-6)^2+(5-6)^2+(4-6)^2}{5}=\frac{10}{5}=2& \\ & \end{matrix}$

Note que o candidato 1, obteve todas as notas são iguais e assim, a variância é igual a 0. Entre os candidatos 2 e 3, não temos todas notas iguais. Note que Var₂(x) < Var₃(x), concluímos que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3. Como o candidato 1 obteve a menor variância, ele será selecionado para ocupar a vaga na empresa.

DESVIO PADRÃO

O desvio padrão é outra forma de analisar a regularidade de um conjunto de valores.

O desvio padrão de uma população é dado pela raiz quadrada da variância. Logo temos:

$\sigma =Var(x)=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{X})^2+(x_2-\bar{X})^2+...+(x_n-\bar{X})^2}{n}}$

Exemplo:

Voltemos para o exemplo anterior onde calculamos a variância de cada um dos três candidatos. Calculemos agora o desvio padrão das amostras das notas dos três candidatos.

Grupo 1: 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0.

Grupo 2: 6,0; 7,0; 6,0; 5,0; 6,0.

Grupo 3: 8,0; 7,0; 6,0; 5,0; 4,0.

No candidato 1, a variância que encontramos foi zero. Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, segue que o desvio padrão também é zero. Além disso, todos os valores do candidato 1 são iguais a 6. Sempre que todos os valores forem iguais o desvio padrão será zero.

No candidato 2, a variância encontrada foi Var₂(x) = 0,4. Logo, o desvio padrão será $\sigma _2=\sqrt{0,4}\cong 0,63$ .

No candidato 3, a variância encontrada foi Var₃(x) = 2. Logo, o desvio padrão será $\sigma _3=\sqrt{2}=2\cong 1,4$ .

Note que, $\sigma _2<\sigma _3$ . Concluímos então que o candidato 2 tem notas mais regulares do que o candidato 3.

OBSERVAÇÃO

Quanto mais uniforme forem os valores, mais próximo de zero estará o desvio padrão.

Quando todos valores são iguais o desvio padrão é zero. Assim a amostra é perfeitamente uniforme.

Quando estamos interessados em saber qual conjunto de valores possui uma maior regularidade podemos usar tanto a variância, como o desvio padrão.

O desvio padrão é expresso na mesma unidade de medida das variáveis do conjunto.

Se estivermos interessados em saber com mais precisão o quanto cada conjunto se afastou de uma uniformidade, é melhor calcular o desvio padrão, já que ele se encontra na mesma unidade de medida dos dados apresentados.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. (EPCAR (AFA) ) Um cursinho de inglês avaliou uma turma completa sendo que parte dos alunos fez a avaliação A, cujo resultado está indicado no gráfico abaixo.

Os demais alunos fizeram a avaliação B e todos tiveram 4 acertos. Assim, o desvio padrão obtido a partir do gráfico acima ficou reduzido à metade ao ser apurado o resultado da turma inteira.

Essa turma do cursinho de inglês tem

a) mais de 23 alunos.
b) menos de 20 alunos.
c) 21 alunos.
d) 22 alunos.

Resolução:

1ª Solução:

Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.

Logo, sabendo que todos os alunos tiveram 4 acertos no exame B segue que a média da turma, x, também é 4.
Se Dpᴬ é o desvio padrão no exame A, então

Chamando de n o número total de alunos, e sabendo que o desvio padrão da turma, DpT , é igual à metade do desvio padrão no exame A, temos

2ª Solução:

Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.

Daí, segue que o desvio padrão da turma é igual a 1/2 e, portanto, se n é o número de alunos da turma, então

(1/2)² = 1/n . (16n + 6 – (4n)²/n) ⇔ 1/4 = 6/n ⇔ n = 24

3ª Solução:
Considere a tabela, referente aos resultados no exame A.

O desvio padrão no exame A é dado por

Logo, o desvio padrão da turma é igual a DpT = 1/2.

Por outro lado, sabendo que todos os alunos que fizeram o exame B tiveram 4 acertos, é imediato que a média no exame B foi Xᴮ = 4, e o desvio padrão Dpᴮ = 0.

Em consequência, sendo nᴮ o número de alunos que fizeram o exame B e Xᴬ = Xᴮ = X, temos

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