Determinantes
Aprenda sobre as Determinantes.
Determinante é um número r tal que se associa a uma matriz quadrada.
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 2X2
Determinante da A²ˣ² = [ a¹¹ a¹²] matriz é o real obtido após efetuarmos a¹¹ . a²² – a¹² . a²¹
[a²¹ a²²]
Exemplo:
A = [5 3] det A = 5·2 – 3·1 = 10 – 3, det A = 7
[1 2]
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 3X3
Determinante da:
[a¹¹ a¹² a¹³]
A³ˣ³ = [a²¹ a²² a²³]
[a³¹ a³² a³³]
matriz é o número real obtido após efetuarmos.
a¹¹ . a²² . a³³ + a¹² . a²³ . a³¹ + a¹³ . a²¹ . a³²
– (a¹³ . a²² . a³¹ + a¹² . a²¹ . a³² + a¹¹ . a²³ . ³²)
REGRA DE SARRUS
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz:
[3 1 2]
A = [0 -1 4]
[1 2 5]
Basta repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz.
[3 1 2]3 1
[0 -1 4]0 – 1
[1 2 5]1 2
Nas diagonais com três elementos da esquerda para a direita, você efetua o produto e mantém o sinal; enquanto nas diagonais com três elementos da direita para esquerda você efetua o produto e inverte o sinal.
det A = -15 + 4 + 0 – (-2) – (24) – (0)
det A = -15 + 4 + 2 – 24
det A = -33
REGRA DO COFATOR
Seja A = (aⁱʲ) uma matriz quadrada de ordem ≥ 2.
Cofator (ou complemento algébrico) de aⁱʲ (notação: Aⁱʲ) é o produto de (-1)ⁱ⁺ʲ pelo determinante da matriz que se obtém de A suprimindo a linha i e a coluna j.
Exemplo:
Podemos obter det A somando os produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
det A = a¹¹A¹¹ + a²¹A²¹ + a³¹A³¹
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz:
[2 7 0]
A = [3 1 5]
[4 -3 -2]
Escolhendo a 1ª linha, temos:
detA = 2.(-1)¹⁺¹ |1 5| +7.(-1)¹⁺² [3 5] + 0 . (-1) ¹⁺³ [3 1]
|-3- 2| [4 – 2] [4 -3]
det A = 2 . 1 . (-2 +15) + 7 (-1)(-6- 20) + 0 = 26 + 182 = 208
PROPRIEDADES DO DETERMINANTE
• A troca de uma linha ou coluna por outra da matriz, troca o sinal do resultado.
Exemplo:
|9 9 1| |9 9 1|
|-7 -1 5| = 262 |-1 -8 -2| = -262
|-1 -8 – 2| |-7 -1 5|
• Multiplicando uma linha ou uma coluna por k, o determinante também fica multiplicado por k.
Exemplo:
|6 -4 -4| |6 -4 -4|
|-2 -3 -6| = 20 |-2 -3 -6| = 100
| 1 -1 -2| | 5 -5 -10|
• Multiplicar uma matriz quadrada inteira por k, multiplica o resultado do determinante por kⁿ , sendo n a ordem da matriz.
det(k . A) = kⁿ. detA
Exemplo:
| 1 -1 -2|
A = |-2 -3 -6| = -20
| 6 -4 -4|
| 5 -5 -10|
5A = |-10 -15 -30| = -2500
|30 -20 -20 |
• O determinante da transposta é igual ao determinante da matriz.
Det(Aᵗ) = Det(A)
Exemplo:
| 1 -1 -2|
A = |-2 -3 -6| = -20
| 6 -4 – 4|
| 1 -2 6|
Aᵗ = |-1 -3 -4| = -20
|-2 -6 -4|
• Se uma linha ou coluna for toda igual a zero, o determinante é zero:
Exemplo:
(a b c)
Det (d e f) = 0
(0 0 0)
• Quando uma linha ou coluna é igual ou proporcional a outra, o determinante é zero:
(a b c)
Det (d e f) = aec + bfa + dbc – aec – bfa – dbc = 0
(a b c)
(a b c) (a b c)
Det (d e f) = K.Det (d e f) = 0
(ka kb kc) (a b c)
• O determinante de uma matriz resultado de um produto entre 2 matrizes quadradas é o produto dos determinantes das matrizes (Teorema de Binet).
Det(A·B) = Det(A) · Det(B)
• O determinante da inversa é o inverso do determinante.
Det (A-¹) = 1/Det(A)
Exemplo:
Matriz A:
( 5 -2 7)
( -1 1 3)
(2 -1 5)
Det(A) = 11
|5 -2 7|
|-1 1 3|= 11
|2 -1 5|
A matriz inversa de A é:
(8/11 3/11 -13/11)
A-¹ = ( 1 1 -2)
(-1/11 1/11 3/11)
E o seu determinante é:
|8/13 3/11 -13/11|
| 1 1 -2| = 1/11
|-1/11 1/11 3/11|
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. (UNISC) Dadas as matrizes A = [ 1 2] e B = [-1 2] o Determinante da matriz A . B é:
[3 4] [1 0]
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
e) 27
Resolução: A
Pelo Teorema de Binet, det(AB) = detA . detB, = ⋅ ou seja
det(AB) = |1 2| . |-1 2|
|3 4 | 1 0|
det(AB) = (1 . 4 – 2 . 3) . ( – 1 . 0 – 2 . 1)
det(AB) = -2 . (-2)
det(AB) = 4
02. (FEEVALE) O determinante da matriz
[ sen(x) 0 1 ]
[ 1 sec(x) 0]
[ 0 0 cotg(x)]
a) 0
b) 1
c) sen(x)
d) cos(x)
e) tg(x)
Resolução: B
[ sen(x) 0 1 ]
[ 1 sec(x) 0] = sen(x) . sec(x) . cotg(x) . sen(x) . 1/cos(x) . cos(x)/sen(x) = 1
[ 0 0 cotg(x)]
03. (UERN) Considere a seguinte matriz A = (aⁱʲ)³ˣ³
(2 1 log²8)
(1 -2 4)
(3 log²4 1)
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é
a) 8.
b) 9.
c) 15.
d) 24.
Resolução: C
Reescrevendo a matriz A, tem-se:
(2 1 log²8) (2 1 3)
(1 -2 4) = (1 -2 4)
(3 log²4 1) (3 2 1)
O determinante da mesma será:
det A = -4 + 12 +6 +18 – 16 -1
det A = 15
04. (EEAR) Para que o determinante da matriz (1 -1 1) seja 3, o valor de b deve ser igual a
(1 0 b)
(1 2 1)
a) 2
b) 0
c) –1
d) –2
Resolução: B
(1 -1 1)1 -1
(1 0 b)1 0
(1 2 1)1 2
Calculando o determinante pela regra de Sarrus, temos:
0 – b + 2 – 0 – 2b + 1 = 3 ⇒ 3b + 3 = 3 ⇒ – 2b = 0 ⇒ b = 0
05. (ESPM) Se a matriz [3 x]
[4 x+1]
for multiplicada pelo valor do seu determinante, este ficará multiplicado por 49. Um dos possíveis valores de x é:
a) 5
b) –3
c) 1
d) –4
e) 2
Resolução: D
Seja k o determinante da matriz [3 x]
[4 x+1]
Sabendo que det(λ . A) = λⁿ . det A , com λ sendo um número real e n a ordem da matriz quadrada A, vem
49. k = k². k ⇔ k.(k² – 49) =
⇔ k = 0 ou k = -7 ou k =
Desse modo, se k = 0, então
[3 x] = 0 ⇔ 3x + 4 – 4x = 0 ⇔ x = 3
[4 x+1]
Se k = –7 então
-x + 3 = -7 ⇔ x = 10
Se k = 7, então
-x + 3 = 7 ⇔ x = -4
Por conseguinte, um dos possíveis valores de x é –4.
