Conjuntos numéricos e intervalos reais

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Para obtermos o conjunto dos números naturais, começamos por zero e acrescentamos sempre uma unidade para encontrar os outros elementos.

IN = { 0,1,2,3,4,5, … }

O conjunto dos números naturais é infinito por isso utilizamos as reticências.

Quando utilizamos o asterisco(*), estamos excluindo o zero do conjunto, ou seja:

IN* = { 1,2,3,4,5,6,7, …}

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Para obtermos o conjunto dos números inteiros basta utilizar os sinais – e + nos elementos do conjunto dos naturais, obtendo, respectivamente, um inteiro positivo e um inteiro negativo. A estes elementos acrescentamos o zero e temos o conjunto dos números inteiros.

Z= { …,-3,-2,-1,0,1,2,3,… }

Atenção!

• Números inteiros não nulos

Z*= {…, -3,-2, -1,1,2,3,…}

• Números inteiros não positivos

Z- = {…, -3,-2, -1,0}

• Números inteiros negativos

Z-*= {…, -3,-2, -1}

Graficamente podemos representar o conjunto dos inteiros da seguinte forma:

O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros. 

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Os números que podem ser expressos sob a forma de fração m / n , com m e n inteiros e n não nulo, são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais pode ser representado por:

ℚ = {x│x = m/n, com m ∈ ℤ e n ∈ ℤ }

Pode-se afirmar que o conjunto dos racionais é formado por números fracionários, decimais exatos, dizimas periódicas e números inteiros.

DÍZIMAS PERIÓDICAS:

Dízimas são números decimais em que, a partir de alguma casa decimal, um algarismo ou grupo de algarismos passa a se repetir infinitamente.

Exemplo:
• 3,141414141414…=3,14
• 0,135777777777…= 0,1357
• 2,728368368368…= 2,72836

Esses números são Números Racionais porque podem ser colocados em forma de fração.

Essas frações que geram as dízimas periódicas são chamadas de Fração Geratriz.

FRAÇÃO GERATRIZ

OBSERVAÇÃO

• Todo racional possui um oposto e um simétrico.
• Entre dois números racionais distintos sempre existe um outro número racional.
• O conjunto dos números naturais e dos inteiros são subconjuntos de ℚ

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

•  II = {x ∈ II / x ∉ ℚ} 
• São todos os números que não podem ser colocados em forma de fração.
• Dízimas não periódicas
• Raízes não inteiras: √2 , √5 ,…
• Números Transcendentes: π, φ, e, …

Números irracionais são números que possuem uma representação infinita e não periódica.

Exemplo:
π = 3,1415926…
√5 = 2,236067…

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ)

O conjunto dos números reais é a união dos racionais com os irracionais.

Representando Graficamente. 

NTERVALOS REAIS

O subconjunto dos números reais, determinado por desigualdades é chamado de intervalo.

Assim, podemos ter intervalos como:

Intervalo aberto

Os extremos a e b não pertencem ao intervalo.
• Outras maneiras de representar esse intervalo são:

]a, b[ ou (a, b)

{x ∈ ℝ / a < x < b}

Exemplo:

B = {x ∈ ℝ / 1 < x < 5}

B = ]1, 5[ ou (1, 5)

Intervalo fechado

Os extremos a e b pertencem ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
[a, b]

{x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}

Exemplo:

A = {x ∈ ℝ / 1 < x < 5}

A = [1, 5]

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à direita)

Apenas o extremo a pertence ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
[a, b[ ou [a, b)

{x ∈ ℝ / a ≤ x < b}

Exemplo:

C = {x ∈ ℝ / 1 ≤ x < 5}

Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à esquerda)

Apenas o extremo b pertence ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:

] a, b] ou (a,b]

{x ∈  ℝ/ a < x ≤ b}

Exemplo:

D = {x ∈ ℝ / 1 < x ≤ 5}

D = ]1, 5] ou (1, 5]

OBSERVAÇÃO

Sempre usaremos “aberto” quando o intervalo apresentar “infinito”

OPERAÇÕES COM INTERVALOS

Intersecção

Se A = {x ∈ ℝ / 2 < x ≤ 6} e B = {x ∈ ℝ / 4 ≤ x < 8}, determine a A ∩ B.

Logo A ∩ B = { x ∈ ℝ / 4 ≤ x ≤ 6 }

União

Se A= {x ∈ ℝ / 2 < x ≤ 6 } e B= {x ∈ ℝ / 4 ≤ x < 8 }, determine A ∪ B.

A ∪ B = {x ∈ ℝ / 2 < x < 8}

Subtração

Se A = {x ∈ ℝ / -2 < x ≤ 4} e B = {x ∈ ℝ / 1 < x < 8}, determine A – B