CONJUNTOS

Um conjunto pode ser representado de três maneiras distintas mostradas abaixo.

• Extensão ou enumeração → quando escrevemos um conjunto por extenso, isto é, enumerando um a um os seus elementos.

Exemplo:
A = {a, e, i, o, u}

• Propriedade → quando representamos um conjunto utilizando uma característica própria dos seus elementos.

Exemplo:
A = { x / x é vogal}

• Diagrama de Venn → quando representa-mos os elementos de um conjunto dentro de qualquer figura ou forma geométrica.

Exemplo:

CONJUNTO VAZIO E CONJUNTO UNITÁRIO

Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos.

A = ∅ ↔ ∀ x, x ∉ A

Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.

Exemplo:
O conjunto A só possui o elemento 3: A={3}

A representação do conjunto vazio é feita por ∅ ou { }.

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois ou mais conjuntos são ditos iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.

Exemplo:
Se A = {1, 2, 3}, B= {3, 1, 2} e C= {1, 1, 2, 3, 3, 3}
Podemos afirmar que A = B = C.

CONJUNTOS DISJUNTOS

Dois conjuntos são ditos disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum.

Exemplo:
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {5, 6, 7}.

Nesse caso, apenas os conjuntos A e C são disjuntos pois A e B têm elementos em comum, assim como B e C.

SUBCONJUNTO DE UM CONJUNTO

Considere dois conjuntos A e B. Se o conjunto B não possuir nenhum elemento que não faça parte do conjunto A então B será dito parte ou subconjunto de A.

Exemplo:
Se A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}, C = {3} e D = {2, 4} então:
B é subconjunto de A.
C é subconjunto de A.

Mas D não é um subconjunto de A pois o elemento 4 não faz parte do conjunto A.

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

É a relação entre um elemento e um conjunto, ou seja, se um elemento pertence (∈) ou não pertence (∉) a esse conjunto.

Exemplo:
3 ∈ A; pois A= {1, 3, 5, 7}

RELAÇÃO DE INCLUSÃO

É a relação entre dois conjuntos, ou seja, se um conjunto é subconjunto (parte) de outro conjunto.

Podemos usar o está contido (⊂) e o contém (⊃), assim como sua negação, não está contido (⊄) e não contém (⊃̶).

Exemplo:
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} então B é subconjunto de A.

Essa situação pode ser representada de duas formas:
B ⊂ A. (leia-se B está contido em A) ou A ⊃ B. (leia-se A contém B)

Exemplo:
Se A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2} então B não é um subconjunto de A.

Essa situação pode ser representada usando a negação:
B ⊄ A (leia-se B não está contido em A) ou A B (leia-se A não contém B)

OBSERVAÇÃO

DICA

Quando for relacionar dois conjuntos e tiver dificuldade, lembre-se: A parte aberta dos símbolos sempre apontam o “maior conjunto”.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {1, 2, {3}}, determine se pertence, não pertence ou se está contido ou contém (e suas negações) as afirmativas abaixo:

a) 3 ∈ A
b) 3 ∉ C
c) {3} ⊂ A
d) {3} ∈ C

e) A ⊃ B
f) B ⊂ A
g) ∅ ⊂ B
h) B ⊃ ∅

OBSERVAÇÃO

Propriedades da Inclusão

∀B, B ⊂ B – um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.

∀B, ∅ ⊂ B – O conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos, inclusive dele mesmo.

CONJUNTO DAS PARTES

Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A é um novo conjunto, formado por todos os subconjuntos possíveis de A e representados por P(A).
P(A) = {K/K ⊂ A} com K ∈ P(A) ↔ K ⊂ A

Exemplo:
Se A= {3, 5, 7} então:
P(A)= { {3},{5},{7},{3, 5},{3, 7},{5,7},{3, 5, 7}, { ∅ }}

Se o conjunto A tem x elementos, então o conjunto P(A) terá 2x elementos.

Exemplo:

Se A = {1,3,5,7,9}, determine quantos elementos terá o conjuntos P(A).

n [ P(A) ] = 2x
n [ P(A) ] = 25
n [ P(A) ] = 32

Logo ele terá 32 elementos ou A possui 32 subconjuntos.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

UNIÃO

Se A e B são dois conjuntos quaisquer, a união é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪ B= { x / x ∈ A ou x ∈ B }

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

No diagrama:

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4} = A

No diagrama:

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

No diagrama:

INTERSEÇÃO

Se A e B são dois conjuntos quaisquer, sua intersecção é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B.
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B }

Exemplo:
Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, determine A ∩ B.
A ∩ B= {3, 4}

No diagrama:

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2}
A ∩ B = {1, 2} = B

No diagrama:

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {5, 6, 7}
A ∩ B = { }

No diagrama:

Quando dois conjuntos não têm elementos comuns, ou seja, A ∩ B = { }, são ditos conjuntos disjuntos.

DIFERENÇA

A diferença entre dois conjuntos A e B representada por A – B é o conjunto formado por elementos de A que não pertencem a B.
A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B }

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A – B = {1, 2}

No diagrama:

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
B – A = {5, 6}

No diagrama:

Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {5, 6, 7}
A – B = {1, 2, 3, 4} = A

No diagrama:

COMPLEMENTAR

Quando B ⊂ A, a diferença A – B é chamada de conjunto complementar de B em relação à A, representados por CAB.

 OBSERVAÇÃO

Diariamente os postos de saúde e hospitais recebem pessoas com os mais variados problemas e doenças. Uma excelente maneira de quantificar cada situação é expor os dados em uma tabela de frequência e assim relacionar os sintomas com as principais doenças. Na próxima questão veremos que estes dados da tabela quando colocados em diagramas de conjuntos facilitam a resolução de muitos problemas.

 Exercício Resolvido

(UERJ) Em um posto de saúde de uma comunidade carente, foram atendidas, num determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas de diarreia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não.

A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela acima. Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Identifique o valor de X acima.

Resolução:
Fazendo um diagrama, temos:

Como foram atendidas 160 pessoas, temos:
–62 – (8 – x + x + 14 – x) + 62 – (14 – x + x + 20 – x)+ 72 – (8 – x + x + 20 – x) + 8 – x + 14 – x + 20 – x + x = 160

62 – 22 + x + 62 – 34 + x + 72 – 28 + x + 8 – x + 14 – x + + 20 – x + x = 160

x = 6

CARDINALIDADE

Denota-se por n(A) o total de elementos de A.

Por exemplo:
A = {7, 8, 15, 19, 25} ➔ n(A) = 5
B = {1, 2, 3, 4} ➔ n(B) = 4

Atenção a contagem de elementos do conjunto vazio pois o mesmo não tem elementos. Dessa forma, se temos um conjunto C = { } denotamos que n(C) = 0.

CARDINALIDADE DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS

Sejam dois conjuntos A e B. Podemos dizer que n(A U B) = n(A) + n(B) ?

Depende! Essa afirmação só será verdadeira caso os conjuntos A e B sejam disjuntos, isto é, não tenham partes em comum.

De forma mais geral escrevemos que
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
e caso os conjuntos sejam disjuntos a parte subtraída será igual a zero.

Por isso devemos tomar muito cuidado no momento de contar elementos da união de dois ou mais conjuntos.

Observe o exemplo abaixo:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
n(A) = 4
n(B) = 5

Isso acontece porque temos elementos repetidos, nesse caso, o elemento 4 está presente nos dois conjuntos. (Temos que n(A ∩ B) = 1 )

Utilizando a fórmula que acabamos de ver, temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 5 + 4 – 1
n(A ∪ B) = 8

OBSERVAÇÃO

Ao isolarmos a interseção de dois conjuntos na fórmula vista acima, temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∩ B)= n(A) + n(B) – n(A ∪ B)

Portanto, quando somarmos dois conjuntos e houver excesso de elementos, esse excesso sempre será a
interseção.

EXERCICIO RESOLVIDO

01. Um conjunto tem 8 elementos, outro conjunto tem 9 elementos e a união deles tem 12 elementos.

Encontre a quantidade de elementos da interseção desses conjuntos é:

Resolução:
n(A) = 8
n(B) = 9
n(AUB)=12

Portanto, n(A ∩ B) = 8 + 9 – 12 = 17-12 = 5

02. Em uma empresa com 120 funcionários, 42 recebem vale-transporte e 95 recebem vale-refeição. Sabendo que todos os funcionários da empresa recebem ao menos um desses dois benefícios, determine o total de funcionários que recebem ambos os benefícios.

Resolução:
n(VT U VR) = 120
n(VT)= 42
n(VR) = 95
n(VT ∩ VR) = 42 + 95 – 120 = 17

CARDINALIDADE DA UNIÃO DE TRÊS CONUNTOS

n(A) = a + b + d + e
n(B) = b + c + e + f
n(C) = d + e + f + g

Se fizermos n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) , teremos:n(A U B U C) = a + 2b + c + 2d + 3e + 2f + g.

Claramente, estaremos errados, pois existirão áreas somadas mais de uma vez. Logo, temos que subtrair as interseções entre dois conjuntos para arrumar. São elas:

n(A ∩ B) = b + e
n(A ∩ C) = d + e
n(B ∩ C) = e + f

Ficando, então:

n(A U B U C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) = = a + 2b + c + 2d + + 3e + 2f + g – b – e – d – e – e – f

n(A U B U C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) = = a + b + c + d + f + g

Agora apareceu outro problema. A região e sumiu da conta, e precisamos contabilizá-la. Então somamos a interseção dos três conjuntos: n(A ∩ B ∩ C) = e 

n(A U B U C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = = a + b + c + d + e + f + g.

Conseguimos agora fazer a conta correta. Temos então a fórmula abaixo.

n(A U B U C) = n(A) + n(B)+ n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Parece muito difícil, mas vejamos como se aplica aos exercícios.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. O Festival de Dança de Joinville é considerado o maior do mundo pelo Guinness Book of Records de 2005. Desde 1998, esse festival é realizado no Centreventos Cau Hansen, que tem capacidade para 4200 pessoas por noite.

Suponha que no 28o Festival de Dança, realizado em julho de 2010, houve uma noite exclusiva para cada uma das seguintes modalidades: ballet, dança de rua e jazz. A noite da dança de rua teve seus ingressos esgotados; na noite do jazz restaram 5% dos ingressos; e a noite e do ballet teve 90% dos ingressos disponíveis vendidos. Sabe-se que algumas pessoas costumam prestigiar mais de uma noite do Festival. Neste ano, 700 pessoas assistiram à dança de rua e ao jazz; 1610 assistiram ao ballet e à dança de rua; 380 assistiram ao ballet e ao jazz e 105 prestigiaram as três modalidades de dança. Se todas as pessoas que adquiriram os ingressos do Festival assistiram à(s) apresentação(ões), então o número total de pessoas distintas que assistiu a pelo menos uma das três modalidades anteriormente mencionadas foi:

a) 9.385
b) 9.070
c) 9.959
d) 6.275
e) 6.905

Resolução:

Analisando os dados… Cada dia suporta 4200 pessoas:

Dança de rua – esgotaram os ingressos, ou seja, venderam todos os 4200
n(D) = 4200

Jazz – restaram 5%, ou seja, foram vendidos 95% dos ingressos:
n(J) = 0,95 . 4200 = 3990
n(J) = 3990

Ballet – venderam 90% dos ingressos:
n(B) = 0,9 . 4200 =- 3780
n(B) = 3780

Resolução utilizando a representação de diagramas:

Aplicando a solução pelo diagrama de Venn aprendido no módulo anterior, começando pela interseção dos três conjuntos e subtraindo as áreas seguintes, temos que montar todo o conjunto do evento, como está representado abaixo:

Para determinarmos o número de espectadores presente em pelo menos um dos espetáculos, basta somar os números correspondentes a cada região. Essa soma dará

1895 + 1505 + 105 + 275 + 1995+ 595 + 3015 = 9385

Solução utilizando a cardinalidade dos conjuntos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B)+ n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

n(A U B U C) = 4200 + 3990 + 3780 – 700 – 1610 – 380 + 105 N(A U B U C) = 9385

02. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

a) 135.

b) 126.

c) 118.

d) 114.

e) 110.

Resolução utilizando a representação de diagramas:

1º passo: Montamos o diagrama abaixo:

2º passo: A interseção dos 3 conjuntos é 4, dado retirado do texto

3º passo: C2 e C3 tem 5 páginas em comum. Subtraímos os 4 da interseção dos 3 e achamos 1.

4º passo: C1 e C2 tem 10 páginas em comum sendo 4 delas também comuns a C3, portanto restam 6 que são apenas de C1 e C2.

5º passo: Seguindo a lógica, achamos 2 como o número de elementos exclusivos entre C1 e C3.

6º passo: Agora vamos completar o diagrama de Venn subtraindo o total de elementos de cada conjunto dos que já
estão escritos:

7º passo: O total de originais (U) é obtido somando todos os valores do diagrama e corresponde a 118 páginas.

Solução utilizando a cardinalidade dos conjuntos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B)+ n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = 50 + 45 + 40 – 10 – 6 – 5 + 4 = 118