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Áreas de figuras planas – Polígonos (Quadriláteros)

Áreas de figuras planas – Polígonos (Quadriláteros)

A área de uma região plana é a medida da extensão dessa região.

ÁREAS DE POLÍGONOS

Para efetuar essa medida é necessário termos uma unidade de comparação. Essa unidade é a região quadrada de lado unitário. Dessa maneira, a área de uma região é o número que indica quantas vezes essa região contém a região unitária.

ÁREA DO QUADRADO

A área de uma região quadrada é igual ao quadrado do seu lado.

UNIDADES DE ÁREAS

A unidade fundamental de medida de superfície chama-se metro quadrado. Representado por m² , é a medida correspondente à área de um quadrado com 1 metro de lado.

As medidas km², hm², dam² são equivalentes às áreas dos quadrados com lados 1 km, 1 hm e 1 dam respectivamente, e são usadas para medir grandes áreas. As medidas dm², cm² e mm² são equivalentes às áreas dos quadrados com lados 1 dm, 1 cm e 1 mm respectivamente, e são utilizadas para medir pequenas áreas.

ÁREA DO RETÂNGULO

Observe que em um retângulo de base b e altura h, podemos decompô-lo em n quadrados unitários.

ÁREA DO PARALELOGRAMO

Considere um paralelogramo de base b e altura h.

A área do paralelogramo é dada por:

Aᵖᵃʳᵃˡᵉˡᵒᵍʳᵃᵐᵒ = b . h

Justificativa:

Observemos que em todo paralelogramo podemos formar um retângulo de base b e altura h, assim como ilustra a figura abaixo.

OBSERVAÇÃO

A diagonal de qualquer paralelogramo divide sua área em duas áreas equivalentes, ou seja, a diagonal divide a área do paralelogramo em duas áreas de mesma medida.

ÁREA DO TRAPÉZIO

Seja ABCD um trapézio de base maior B, base menor b e altura h

Sua área é dada por:

Aᵗʳᵃᵖéᶻⁱᵒ = (B + h) . h/2 

Justificativa
Dupliquemos a área do trapézio conforme a figura abaixo.

Note que obtemos um paralelogramo de base (B + b) e altura h, assim a área do trapézio será metade da área do paralelogramo.

Portanto:

Aᵗʳᵃᵖéᶻⁱᵒ = (B + h) . h/2 

ÁREA DO LOSANGO

Considere um losango de diagonal maior D e diagonal menor d.

Sua área é dada por :

Aˡᵒˢᵃⁿᵍᵒ = d.D/2

Demonstração

Como as diagonais de um losango são perpendiculares e se cruzam no ponto médio, temos que a área do losango é a soma das áreas de dois triângulos de base d e altura D/2. Portanto : 

Sendo um losango qualquer, vamos construir um retângulo em volta dele.

Na imagem acima temos um retângulo ABCD e, dentro dele, o losango EFGH, com a diagonal maior D (EG) e a diagonal menor d (HF).

Como se trata de um retângulo, sabemos que sua área será o produto da base pela altura. Como BC = D e DC = d , então a área do retângulo será A = D · d.

Observe que o retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. Em cada um desses retângulos menores, temos duas regiões: uma correspondente ao retângulo maior e outra referente ao losango. Assim, é possível perceber que cada parte dessa é a metade do retângulo pequeno. Ou seja, se juntarmos a área de todas as partes em AZUL, essa área será metade da área do retângulo maior.

Logo, a área do losango poderá ser calculada como a metade da área do retângulo a sua volta, ou seja, A = D.d/2 .

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