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Áreas de Figuras Planas: Círculos e Suas Partes

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Áreas de Figuras Planas: Círculos e Suas Partes

Aprenda sobre as figuras planas.

ÁREA DO CÍRCULO

Calculamos a área de um círculo de centro O e raio R por

Demonstração:

Colocando-se infinitos triângulos dentro de um círculo, de modo que a base de cada triângulo seja muito pequena, para que possa está quase encostando na circunferência, e assim a altura de cada triângulo ficará bem próximo do raio do círculo, teremos a figura abaixo.

Depois, reorganizando esses triângulos de modo que seja possível formar um paralelogramo, com a base sendo a metade do comprimento da circunferência C = 2πR/2 = πR e a altura será a medida do raio R do círculo.

Sabemos que a área do paralelogramo é o produto da base com a altura. Assim teremos a área do círculo

A = πR · R = πR²

ÁREA DA COROA CIRCULAR

Dados dois círculos concêntricos, a região exterior ao círculo menor e interior ao círculo maior é chamada de coroa circular.

Obtemos a área da coroa circular subtraindo o círculo menor do círculo maior. Assim, temos:

$A_{coroa}=\pi R^2-\pi r^2$

Podemos reescrever essa fórmula colocando π em evidência e dessa forma, temos:

$A_{coroa}=\pi (R^2-r^2)$

ÁREA DO SETOR CIRCULAR

Observemos que se dobrarmos o ângulo do setor, também dobramos a área, se triplicarmos o ângulo do setor, também triplicamos a área. Isto ocorre porque o ângulo central e a área do setor a ele correspondente são diretamente proporcionais.

Dessa maneira:

$A_{\textup{setor}}=\pi R^2\cdot \frac{\theta }{360^{\circ}}$
Para θ em graus.

ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR

Um segmento circular é definido como a região limitada pela circunferência e uma corda. Dessa maneira, podemos dizer que uma corda divide um círculo em dois segmentos circulares.

Para determinarmos a área do menor segmento devemos subtrair a área de um triângulo da área do setor circular, assim como sugere a figura.

Logo temos A_segmento = A_setor– A_triângulo

Observação:

Considere a corda AB na circunferência abaixo.

Para determinar a área do maior segmento, basta somar a área de setor de ângulo B mais a área do triângulo OAB.

A_segmento = A_{setor b}– A_OAB

Exercícios resolvidos

01. Calcular a área do segmento circular abaixo.

Resolução:

A área do setor é:

$\begin{matrix} A_{setor}=\pi R^2\cdot \frac{\theta }{360^{\circ}}=\pi R^2\cdot \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\pi R^2\cdot \frac{1}{6}=\pi \cdot 4^2\cdot \frac{1}{6}=\pi \cdot 16\cdot \frac{1}{6}=\frac{16\pi}{6}=\frac{8\pi }{3}cm^2 & \\ & \end{matrix}$