Produtos Notáveis e Fatoração

FATORAÇÃO

TIPOS DE FATORAÇÃO

• Fator comum em evidência.
• Agrupamento de termos semelhantes.
• Diferença de dois quadrados.
• Trinômio quadrado perfeito.

Fator comum em evidência

Para colocar em evidência é preciso verificar se cada um dos termos tem algum fator em comum, ou seja, se é divisível por algum fator.

Exemplo 1:

ax + ay + az
a . (x + y + z)

Como todos os termos são divisíveis por a, ou seja, possuem o fator a, podemos colocar em evidência, e sobra dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada termo pelo coeficiente colocado em evidência.

Exemplo 2:

4x²y² + 2xy – 8x³y²
2xy (2x + 1 – 4x²y )

Agrupamento de termos semelhantes

Agrupamos o polinômio em grupos com o mesmo valor em comum para colocar em evidência, e fazemos separadamente cada grupo.

Exemplo 3:

a² + ab + ac + bc 

1° termo ⇰ a² + ab = a . (a + b) 

2° termo ⇰ ac + bc = c . (a + b) 

a . (a + b) + c . (a + b)

(a + b) . (a + c) 

Exemplo 4:

4ab + 4b + 3a + 3

4b(a + 1) + 3(a + 1)

(a + 1)(4b + 3)

Diferença de dois quadrados

a² – b² = (a + b) . ( a – b)

Exemplo 5:

x² – 16 = (x + 4)(x – 4)

Exemplo 6:

x² – 81 = (x + 9)(x – 9)

Exemplo 7:

x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

Trinômio quadrado perfeito

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

Exemplo 8:

x² + 14x + 49

x² = (x)² e 49 = (7)²

Se os extremos forem quadrados perfeitos e o meio for o dobro do produto dos mesmos, temos um TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.

14 = 2 . x . 7 ⇒ a = 1x e b = 7
(x + 7)²

Exemplo 9:

a² – 8ab + 16b²

a² = (a)² e 16b² = (4b)²

8ab = 2 . a . 4b

Logo, (a – 4b)²

PRODUTOS NOTÁVEIS

DEMONSTRAÇÕES GEOMÉTRICAS

Quadrado da soma

(a + b)² = a² + 2 ab + b²

Então a área do quadrado maior de lado (a + b) será:

(a + b)² = a² + ab + ab + b²

(a + b)² = a² + 2 ab + b²

Exemplos:

Calcule os produtos notáveis abaixo:

a) (2x + 5y)² =
(2x)² + 2(2x)(5y) + (5y)²
4x² + 20xy + 25y²

A figura abaixo representa o Exemplo (B):

c) (3a³ + 4b²)² =
(3a³)² + 2 . 3a³ . 4b² + (4b²)²
9a⁶ + 24a³b² + 16b⁴

Quadrado da diferença

(a – b)² = a² – 2 ab + b²

Então a área do quadrado menor, de lado (a-b) será: (a – b)² = a² – ab – ab + b² (esse último foi adicionado por ter
sido retirado duas vezes) (a – b)² = a² – 2ab + b².

Exemplos:

Calcule os produtos notáveis abaixo:

a) (2a – 5b)² =
(2a)² – 2 . 2a . 5b + (5b)²
4a² – 20ab + 25b²

A figura abaixo representa o Exemplo (B): 

c) (6a³ – 7b⁵)²=
(6a³)² – 2 . 6a³ . 7b⁵ + (7b⁵)²
36a⁶ – 84 a³b⁵ + 49 b¹⁰

Produto da Soma pela Diferença

(a + b)(a – b) = a² – b²

Exemplos:

a) (x + 2)(x – 2)
x² – 4

b) (x + 3)(x – 3)
x² – 9

c) (x + 5)(x – 5)
x² – 25

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

01. (FATEC) Efetuando-se (579865)² – (579863)², obtém-se:

a) 4
b) 2319456
c) 2319448
d) 2086246
e) 1159728

Resolução: B

(579865)² – (579863)² =

(579865 + 579863) (579865 – 579863)

1159728 · 2 = 2319456

02. (UFES) O número N = 2002² · 2000 – 2000 · 1998² é
igual a:

a) 2 . 10⁶
b) 4 . 10⁶
c) 8 . 10⁶
d) 16 . 10⁶
e) 32 . 10⁶

Resolução: E

N = 2002² . 2000 – 2000 . 1998²
N = 2000 (2002² – 1998²)
N = 2000 . (2002 + 1998)(2002 – 1998)
N = 2000 . 4000 . 4
N = 32 000 000
N = 32 . 10⁶

Cubo da Soma

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

EXEMPLOS:

a) (3x + 2y)³ =

(3x)³ + 3 . (3x)² . (2y) + 3 . (3x) . (2y)² + (2y)³ =

27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

b) (x + 3y)³ =

x³ + 3 . (x²) . (3y) + 3 . x . (3y)² + (3y)³ =

x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³