Propriedade dos termos
Aprenda sobre a Propriedade dos Termos.
A propriedade:
Uma sequência de três termos é uma P.A. se, e somente se, o termo central é igual a média aritmética entre os outros dois.
Isso é equivalente a escrever:
(a,b,c) é PA « b =
Demonstração:
(a, b, c) é P.A. « b – a = r e c – b = r, em que r é um número real.
b – a = c – b « 2b = a + c « b =
Como queríamos demonstrar.
Exemplo:
Considere a sequência (10, 15, 20) é uma P.A. de razão r = 5.
Note que
OBSERVAÇÃO:
Essa é uma importante propriedade que pode ser estendida. Em geral, uma sequência qualquer será uma P.A. se, e somente se, todo termo que possui antecessor e sucessor, for média aritmética entre seu antecessor e o seu sucessor.
Exemplo:
Considere a P.A. (4, 6, 8, 10, 12), de razão 2.
,
,
A propriedade:
Sejam am, an, aj e ak quatro termos quaisquer de uma P.A. Dessa forma:
am + an = aj + ak se, e somente se, m + n = j + k.
Demonstração:
De fato, seja r a razão da P.A.
am + an = aj + ak
a1 + (m – 1) . r + a1 + (n – 1) . r = a1 + (j – 1) . r + a1 + (k – 1) . r
(m – 1) . r + (n – 1) . r = (j – 1) . r + (k – 1) . r
mr – r + nr – r = jr – r + kr – r
mr + nr – 2r = jr + kr – 2r
m + n – 2 = j + k – 2
m + n = j + k
Como queríamos demonstrar.
Exemplo: Considere a P.A.:
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ….)
Note que a1 + a5 = 1 + 13 = 14 e a2 + a4= 4 + 10 = 14, sendo assim, a1 + a5 = a2 + a4
Da mesma forma, a3 + a8 = 7 + 22 = 29 e a5 + a6 = 13 + 16 = 29, sendo assim, a3 + a8 = a5 + a6
OBSERVAÇÃO:
A partir das propriedades 1 e 2, obtemos dois resultados muito importantes relativos as Progressões Aritméticas.
1o: Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
2o: Em toda P.A. finita, com número ímpar de termos, o termo central é igual a média aritmética dos extremos (ou de dois termos equidistantes dos extremos).
VIDEO TEORIA:
Progressão aritmética – Propriedades
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Exemplos:
6) Considere a P.A. a seguir, que possui uma quantidade ímpar de termos.
Note que, a soma dos termos equidistantes dos extremos é sempre 80.
10 + 70 = 80, 20 + 60 = 80, 30 + 50 = 80. E em todos os casos, dividindo por 2, encontraremos 40, que é o termo central.
7) Calcule o valor de x na P.A. (x – 1, 1 – 7x, 3x – 11).
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